主题：【文摘】世界是一张全息图(《科学美国人》上一论文的中译) -- 衲子

出处: 《环球科学》(获Scientific American独家授权的中文杂志,2006年1月创刊)

外链出处

衲按: 其原始论文是

Jacob D. Bekenstein, "Information in the Holographic Universe--Theoretical results about black holes suggest that the universe could be like a gigantic hologram" Scientific American August 2003

我有图文并茂的此文档案(PDF,194kB), 需要的朋友们可将email地址通过短信发给我,我随后将它email给你们.

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如果你问别人物理世界是由什么构成的，他很可能告诉你是“物质和能量”。但只要我们学过一点工程、生物和物理的话，就知道信息同样是一个不可或缺的组成部分。只给汽车厂的机器人金属和塑料，它们不可能做出任何有用的东西，只有给它们下达如何焊接的指令它们才能组装出汽车。我们身体细胞中的核糖体拥有阿米诺酸组建模块和ATP合成为ADP过程中释放的能量，但如果没有细胞核中DNA所携带的信息，同样无法合成任何蛋白质。类似地，一个世纪以来物理学的进展告诉我们，信息在物理系统和物理过程中起着关键的作用。实际上，现在就有一个学派认为物理世界是由信息构成的，它的创始人是美国普林斯顿大学的John A. Wheeler。该理论认为信息才是最重要的，物质和能量不过是附属物而已。

这种观点引发了对许多古老问题的重新审视。硬盘之类存储设备的信息存储容量获得了飞速发展。这样的进展什么时候会终止？一个重量小于1克，体积小于1立方厘米（这大约是计算机芯片的尺寸）的设备的终极信息存储容量是多少？描述整个宇宙需要多少信息？这种描述能被装入计算机的内存中吗？我们真的能象William Blake说的那样“透过一粒沙看世界”吗？抑或这种说法只不过是诗人的狂想？

值得注意的是，近期理论物理学的进展解答了上面的部分问题，而这些回答很有可能是找到客观的最终理论的重要线索。通过研究黑洞的那些神秘特性，物理学家已经推导出了某一部分空间或一定量的物质和能量所能包含信息量的绝对限度。相关的研究结果表明，我们的宇宙也许并不是一个我们所认为的那种三维空间，它很有可能是某种“写”在二维表面上的全息图形。我们对日常世界的三维认知要么是一种玄奥的幻觉，要么就是观照现实的两种方式之一而已。一粒沙也许不能包含整个宇宙，但是一个平板显示器却有可能做到。 两种熵正统信息论的创始人是美国应用数学家香农。他于1948年发表了一系列开创性的论文，所引入的熵这一概念如今被广泛用于信息的度量。长久以来，熵就是热力学（研究热的一个物理学分支）的中心概念。热力学中的熵通常被用于表征一个物理系统的无序程度。1877年，奥地利物理学家玻尔兹曼提出了一种更为精确的描述：一团物质在保持宏观特性不变的情况下，其中所包含的粒子所有可能具有的不同微观状态数就是熵。例如，对于包围你的室内空气而言，就可以计算单个空气分子所有可能的分布方式及其所有可能的运动方式。

当香农设法量化一条消息中的信息时，他自然而然地得出了一条和玻尔兹曼一样的公式。一条消息的香农熵就是编码这条消息所需二进制位即比特的个数。香农熵并不能告诉我们一条消息的价值，因为后者主要取决于上下文。然而作为对信息量的一种客观度量，香农熵还是在科学技术中获得了广泛的应用。例如，任一现代通信设施——蜂窝电话、调制解调器、CD播放器等等——的设计都离不开香农熵。

从概念上来说，热力学熵和香农熵是等价的：玻尔兹曼熵所代表的不同组成方式的数目反映了为实现某种特定组成方式所必须知道的香农信息量。但这两种熵还是存在着某些细微的差别。首先，一名化学家或制冷工程师所使用的热力学熵的表示单位是能量除以温度，而通信工程师所使用的香农熵则表示为比特数，后者在本质上是无单位的。这一差别完全属于习惯问题。

即使采用同样的表示单位，两种熵值的量级还存在着巨大的差异。例如，带有1G数据的硅片的香农熵约为10*10个比特（1个字节等于8个比特），这比该芯片的热力学熵可小多了，后者在室温下的取值约为10*23比特。这种差异来源于两种熵在计算时所考虑的不同自由度。自由度指的是某一可变化的量，例如表示一个粒子位置或速度分量的座标。上述芯片的香农熵关心的只是蚀刻在硅晶上所有晶体管的状态。晶体管到底是开还是关；它要么为0，要么为1，是单一的二进制自由度。热力学熵则不同，它取决于每一个晶体管所包含的数十亿计的原子（以及围绕它们的电子）的状态。随着小型化工艺的发展，不久的将来我们就能用一个原子来存储一比特的信息，到那时，微芯片的香农熵将在量级上迫近其材料的热力学熵。当用同样的自由度计算这两种熵时，它们将是完全相同的。

那么自由度是否存在极限？原子由原子核和电子组成，原子核又由质子和中子组成，质子和中子又由夸克组成。今天有许多物理学家认为电子和夸克不过是超弦的激发态而已，他们认为超弦才是最基本的实体。然而一个世纪以来物理学的兴衰变迁告诉我们不能这样武断。宇宙的结构层次有可能比今天的物理学所梦想的还要多得多。

不知道一团物质的终极组成部分或其最深层次的结构，我们就无法计算其终极信息容量，同样也无法计算其热力学熵。我把这种最深的结构层次称为第X层。（这种不确定的描述在实际的热力学分析中毫无问题，例如当我们分析一个汽车引擎，原子中的夸克就可以被忽略掉，因为在引擎这样一种相对温和的环境下，它们是不会改变状态的。）按照微型化技术目前这样快的发展速度，我们可以设想将来某日夸克能被用来存储信息，也许是一个夸克一比特。到那时一立方厘米能存储多少信息？假如我们能进一步利用超弦或者更深层次的结构来存储信息呢？令人吃惊的是，近30年来引力物理学领域的成果对这些看似深奥的问题提供了一些明确的答案。

黑洞热力学

这些成果的一个中心角色就是黑洞。黑洞是广义相对论（爱因斯坦1915年提出的引力几何理论）的产物。根据这一理论，引力来源于时空的扭曲，它使得物体发生移动，就像有一个力在推动一样。与之可逆的是，物质和能量的存在导致了时空的扭曲。根据爱因斯坦的方程式，一团足够致密的物质或能量能将时空弯曲到撕裂的极端程度，这时黑洞就形成了。至少在经典（非量子的）物理学范畴内，相对论决定了任何进入黑洞的物质都无法再从中逃脱。这个有去无回的点被称为黑洞的视界。在最简单的情况下，视界是一个球面，黑洞越大，这个球体的表面积就越大。

要探究黑洞内部是不可能的。没有任何具体的信息能穿过视界逃离到外部世界中。然而，在进入黑洞并永久消失之前，一团物质还是能留下一些线索的。它的能量（按照爱因斯坦方程E=mc^2，可以将任意质量换算成能量）将不变地反映为黑洞质量的增量。如果在被黑洞捕获前它正在围绕黑洞旋转，那么它的角动量将被加到黑洞的角动量之中。黑洞的质量和角动量都可以通过黑洞对周围时空的作用而获得测量。这样，黑洞也遵守能量和角动量守恒准则。但另一个基本定律，即热力学第二定律，看起来是被破坏了。

热力学第二定律是对惯常观测现象的一个总结：自然界中绝大部分过程都是不可逆的。茶杯从桌上摔碎后，没有人看到碎片自己按原路蹦回又组成一只完整的杯子。热力学第二定律禁止这些逆过程的发生。它指出，孤立系统的熵永远不可能减少；熵最多保持不变，大部分情况下，熵值是增加的。这条定律是物理化学和工程学的核心；它被认为是对物理学之外其他领域产生影响最多的一条定律。

就像Wheeler首先指出的那样，当物质消失于黑洞时，它的熵似乎永久消失了，热力学第二定律这时看起来也失效了。解决这一谜题的线索首先出现于1970年。Demetrious Christodoulou（当时他在普林斯顿大学做Wheeler的研究生）和英国剑桥大学的Stephen W. Hawking（霍金）各自独立证明了，在多种不同的过程中（例如黑洞的合并等），最终的视界总表面积不会减少。通过将这一性质和熵值趋向于增加的特性相类比，我于1972年提出了黑洞熵值正比于其视界表面积的理论。根据我的推测，物质落入黑洞后，黑洞熵值的增加总能补偿或者过补偿该物质所“丧失”的熵。更广泛地来说，黑洞的熵值及其外面的普通熵值之和永远不会变小。这就是广义第二定律（简称GSL）。

GSL已经通过了大量严格（如果仅从理论上来看的话）的验证。当一颗恒星坍塌称为一个黑洞时，黑洞的熵值将大大超过该恒星的熵值。1974年霍金证明了黑洞必然会通过一个量子过程释放我们现今称之为霍金辐射的热辐射。对于这种现象（黑洞的质量及其视界表面积都减少了），Christodoulou-Hawking定理就失效了，然而GSL却能适用：黑洞散发出去的熵值超过了其本身熵值的减少，所以GSL仍然成立。1986年，美国雪城大学的Rafael D. Sorkin研究了视界在阻止黑洞内部信息影响外部事件时起到的作用，他因此得出结论：对于黑洞发生的任何可能的过程，GSL（或与之非常相似的理论）必然是成立的。他的深入研究明确指出，无论X取值多少，GSL中的熵对层次X都是成立的。

霍金对辐射过程的处理使他得到了黑洞熵值和视界表面积之间的比例关系：黑洞的熵值恰恰是按照普朗克表面积丈量的视界表面积的1/4。（普朗克长度，约为10*－33厘米，是万有引力和量子理论中的基本长度单位。普朗克表面积即它的平方。）即使是从热力学熵的角度来看，这个值也是非常巨大的。一个直径为1厘米的黑洞的熵值约为10*66比特，这大致和一个边长为100亿公里的立方水柱所含的热力学熵相当。

世界是一张全息图

GSL让我们有可能为任何孤立的物理系统设定信息容量的限度。这些限度对于直到X层的任何结构层次都将成立。1980年我开始研究第一个这样的界。它被称为通用熵界，它确定了特定尺寸特定质量的物质所能包含信息量的界限。美国斯坦福大学的Leonard Susskind于1995年提出了一个与之相关的称为全息界的概念。它确定了占据一定空间体积的物质或能量所能包含信息量的界限。

在研究全息界的过程中，Susskind考察的是一团近乎球体的孤立物质，它并非黑洞，而是被紧密地装入到一个表面积为A的表面中。如果该物质能坍塌为黑洞，则最终形成的黑洞的视界表面积将小于A。这样黑洞熵将小于A/4。按照GSL，该系统的熵不能减少，因而物质的初始熵不能大于A/4。这样我们就可以得出结论：边界表面积为A的孤立物理系统的熵值必然小于A/4。然而如果该物质无法自行坍塌又如何呢？我[衲按,即 J. D. Bekenstein, 下同]在2000年证明了，一个小的黑洞可以将一个和Susskind论证过程中那个没什么大区别的系统转变为黑洞。因而这个界是独立于系统的组成或者层次X的特性的。它仅仅依赖于GSL。

现在我们可以回答某些关于信息存储量最终限度的深奥问题了。一个直径为1厘米的装置理论上可以存储高达10*66比特的信息量，这可是一个令人难以置信的数量。可见的宇宙最少包含了10*100比特的熵，理论上可将之装入到一个直径为十分之一光年的球体之中。要估计宇宙的熵很困难，然而对于特别大的数值，例如一个几乎与宇宙本身一样大小的球体，则是完全可行的。

但是全息界的另一方面却真正让人大吃一惊。就是说，最大可能的熵值取决于边界面积而不是体积。让我们设想将计算机内存芯片堆成一个大堆。晶体管的数目（即总的数据存储容量）随着堆体积的增加而增大。所有芯片的热力学熵之和也同样增大。然而值得注意的是，这堆芯片所占据空间的理论终极信息容量仅仅随表面积的增加而增加。因为体积的增长远远快于表面积的增长，到某一程度，所有芯片的熵值之和将超过全息界。看起来无论是GSL还是我们通常意义上的熵和信息容量都失效了。实际的情况上，真正失效的是堆积过程本身：在上述情况出现之前，它就将因为本身的引力而坍塌并形成一个黑洞。在此之后每增加一个芯片都将增大黑洞的质量和表面积，但这都将遵循GSL。

如果全息原理（由诺贝尔得主、荷兰乌得勒支大学的Gerarad't Hooft于1993年提出，并得到了Susskind的进一步阐述）是正确的话，信息容量取决于表面积这一令人吃惊的结论就将得到自然的解释。在日常世界里，全息图形是一种特殊的胶片，当用合适的方法将它曝光时，它就将产生一个真正3维的影像。描述3维图景的所有信息都被编码到2维胶片上的明暗相间的图样上。用这个胶片随时都可以复现该3维图景。全息原理指出，这一视觉魔术的原理可以类推到对任何一个占据3维区域的系统的所有物理学描述之中，另一个在该区域的2维边界上定义的物理学理论能完全描述该3维区域的物理学。如果一个3维系统能被运作于其2维边界上的物理理论所完全描述，我们就有理由推测该系统的信息容量不可能超越其边界上的描述。

“画”在边界上的宇宙

我们能把全息原理推广到宇宙这样大的范围吗？真正的宇宙是一个4维系统：它有体积并随着时间轴延伸。如果我们这个宇宙的物理学具有全息性，那么就会存在另外一套运作在某个时空的三维边界上的物理学定律，它们将和我们现在所知的4维物理学完全等效。到目前为止我们还没有发现任何这样的3维定律。事实上，我们拿哪个界面做为宇宙的边界呢？要实现这些想法我们需要首先迈出的一步就是研究比真实宇宙更简单的那些模型。

所谓的反德西特时空就是一类全息原理能成立的具体例子。原始的德西特时空是荷兰天文学家威廉·德西特于1917年根据爱因斯坦方程式导出的一个解，其中包括了被称为宇宙常量的斥力。德西特时空是空旷的，以一定的加速度膨胀并且是高度对称的。1997年，宇宙学家在研究遥远的超新星爆发时得出结论：我们的宇宙正在加速膨胀，未来它有可能变得越来越像一个德西特时空。如果我们将爱因斯坦方程式中的斥力换成引力，那么德西特解将变成一个反德西特时空，它和德西特时空具有相同的对称性。对于全息概念来说，反德西特时空的重要性就在于它拥有一个位于“无限”处的边界，这一点和我们的日常时空非常相似。

利用反德西特时空，理论家设计出了一个全息原理起作用的具体例子：一个在反德西特时空内运作的宇宙可以用超弦理论完全描述，这套描述和在该时空边界上起作用的量子场论完全等效。这样，上述反德西特时空内部超弦理论的全部奥秘就都被画在了该宇宙的边界上。1997年，Juan Maldacena（那时他还在哈佛大学）首先推测，在5维反德西特时空上存在这种关系。此后，美国新泽西州普林斯顿大学高级研究院的Edward Witten及普林斯顿大学的Steven S. Gubser、Igor R. Klebanov和Alexander M. Polyakov在多种情况下证实了该推测。现在我们已经知道在多种不同维数的时空上都存在着这样的全息对应关系。

这个结论意味着，两个表面上看来非常不同的理论（它们甚至是各自生效在不同维数的时空里）是完全等效的。生存在这些宇宙中的生物将无法确定它们是栖息于一个由弦论描述的5维时空还是一个由量子场论描述的4维时空中。（当然，这些生物的大脑结构也许会给它们一种“常识”，让它们以为自己是生存于某一种宇宙中。就像我们的大脑结构让我们有一种内在的感觉，我们的宇宙具有3维空间结构；参见下页图示）全息等价使得一个在某一时空中难以计算的问题可以用另一种方式解决。比如，4维边界时空上夸克和胶子特性的计算，就可以转化为在高度对称的5维反德西特时空上更简易的计算。这种对应关系还有其他的表现方式。Witten就曾证明，反德西特时空上的黑洞等价于其边界时空上的热辐射体。黑洞这个神秘概念的熵就等于该辐射体的熵，显然后者要容易理解得多。

不断膨胀的宇宙

度对称且空旷的5维反德西特时空和我们这个充斥着物质和辐射且不断受剧烈事件扰动的4维宇宙似乎有很大不同。即使把我们的宇宙近似为一个物质和辐射体均匀分布的系统，我们得到的也不是一个反德西特宇宙，我们得到的将是一个“弗里德曼-罗伯逊-沃克”宇宙。今天绝大部分的天文学家都认为我们的宇宙是一个无限的、无边界的并将永远膨胀的“弗里德曼-罗伯逊-沃克”宇宙。

这样的一个宇宙还遵守全息原理或具有全息界吗？Susskind基于坍塌至黑洞的推断在这里毫无作用。实际上，由黑洞所导出的全息界必然在我们这个单调膨胀的宇宙中失效。一块均匀分布着物质和辐射的区域的熵确实将和它的体积成正比。这样的话，一块足够大的区域（所包含的熵）就会突破全息界。

Raphael Bousso于1999年（当时在斯坦福大学）提出了一个改进的全息界，后来发现这个界在上面所述的那些原全息界遇到问题的地方还能适用。Bousso这个全息界的构成起始于任意合适的2维界面；它可以像一个球面一样是封闭的，也可以像一张纸那样是开放的。现在让我们来想象一束短暂的光线同时从这个界面的一边垂直射入。这里唯一的要求就是这些虚拟的光线都是从同一点发射出来的。例如说，从一个球面的内部透射出来的光线就符合这一要求。现在让我们来看这些光线所经过的物质和辐射体的熵。Bousso推测说这个熵值不能超过由初始界面所代表的熵——表面积的1/4（以普朗克面积为单位）。这种计算熵的方法和原来那种全息界的计算方法有所不同。Bousso界并非只考虑某一时刻某一区域的熵值，它计算的是不同时间不同位置的熵值之和：那些被从表面来的光线所“照亮”的熵。

Bousso界在继承其他熵界的基础上又避免了它们的局限性。只要所涉及的孤立系统变化不是很快，引力场不是很强，无论是通用熵界还是全息界的't Hooft-Susskind形式都可以从Bousso界中推导得出。如果这些条件都不满足——例如涉及的物质已经落入了黑洞之中，那么这些界就将失效，但Bousso界却能继续适用。Bousso还证明了，他的这一方法能用于定位建立世界全息图形的2维界面。

革命性的前夜

研究人员已经提出了各种各样的熵界。对于全息这一课题，存在那么多的流派，这证明它还没有上升到物理定律的高度。虽然全息的思想还没有完全被我们所理解，但它看起来确确实实是对的。随之而来的是，人们开始认识到，盛行了50年的那个基本信仰，即场论是物理学的最终语言的看法，必须抛弃了。场，比如说电磁场，不同点之间是连续变化的，因而它们描述的自由度是无限的。超弦理论也支持无限多的自由度。全息论则将一个封闭界面里的自由度限制到一个有限的数目上；场论因为其自由度的无限所以不可能是最终理论。此外，即使自由度无限的问题得到了解决，信息量和表面界之间那种神秘的对应关系也应该得到解决。

全息论也许为另一个更好的理论指明了方向。基本理论应该是什么样子的？全息论发展过程中的一系列论证推理让某些科学家（其中最著名的是加拿大沃特卢理论物理Perimeter学院的Lee Smolin）提出，最终理论考虑的不是场，甚至不是时空，而应该是物理过程之间的信息交换。如果真是这样的话，把信息看成世界的组成部分的观点就体现了它的价值。

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阿米诺酸?

Amino acid = 氨基酸

那篇《科学美国人》的文章全文亦可在此浏览：

Information in the Holographic Universe

黑洞之熵正比于其视界表面积:

信息密度的极限：

一堆计算机芯片的信息内容正比于其所占体积， 但当足够多的芯片堆在一起时，这个‘体积正比律’将不再成立，由‘表面积正比律’取而代之，因为巨量的芯片堆迟早会塌缩成黑洞。

宇宙全息图: 在一个区域的2维边界上定义的物理学理论能完全描述该3维区域的物理学：

我们直觉地感受到空间是三维的，这可能个超常的幻觉：

科学伪科学的辩论(参见置顶贴)。否则将删除相关帖子。

存在不存在一个有限的子系统，可以表达整个系统的全部可能？

对于人，一个芯片的电学特性就是这个芯片的信息，其他都是噪声。而对于在这个芯片附近飞行的蚊子，芯片产生的电场才是信息。对于在某个管脚上的细菌，管脚上的热才是信息。不同系统对同一客体的感受，信息的交流和体现形式是不一样的。

另外，不要忘记蝴蝶效应。我们只能感受蝴蝶引起的飓风，但飓风是某个蝴蝶触发的。这个蝴蝶的信息我们无法准确的直接感应，物理上就不存在可以记录的可能性。信息的完全记录隐含的条件是可以复制，重现，但蝴蝶效应是物理上不可能被完全复制、重现的，这件事的本来信息在纪录过程中就被破坏了。

所以不可能存在局部对整体信息的完全纪录，因为这里一定经过抽象才能得到所谓的信息；而这个信息不可能完全地复现一模一样的整体。

没有“全息”，哪里来的“全息宇宙学"? 我没有看到文摘里有合理的解释。如果有，敬请进一步说明。

在狼兄的提问中,似乎指"全息"为"局部对整体信息的完全纪录".

而这儿的"全息"是指"全息照相", 是说一个三维宇宙空间里的信息,可以在其二维表面上忠实地记录, 即"二维边界对三维区域里的信息的完全记录". 一张全息相片的信息含量为其space-bandwidth-product ("space"是相片的面积; "bandwidth"大约是相片的解析度,就是显像微粒有多细密? 在本文中, 解析度是普朗克面积元), 如果仅取全息相片的一局部, 它所含的信息量当然比完整的相片的信息量要少(因为"space"少了), 所以局部不可能对整体完全记录, 但一定的相似性还是有的. 表现在: 全息相片的局部还是可以重构三维影像的大貌, 但是会比较模糊, 因为影像的高频信息失去了. 这是光学信号处理的知识.

以上细节可以不管, 最关键的take-home-message是: 三维区域的信息量, 是由其表面积所upper bound的; 三维区域里的物理定律, 都可以在其二维表面内找到对应的表示.

这里就有一个主观的概念。

全息像片的所谓大貌，所谓模糊，所谓高频对于不同人的眼睛就有不同意义。

同时，物理定律并不能代表三维世界的全部。先不说物理定律本身是不是有限的，收敛的；

即使一个简单的理想模型所体现的形态，是由其内在的物理条件以及其边界条件所决定的，如果其边界条件无法精确量度，那么这个系统的行为就是不可能完全预测的，那么就不存在一个能完全表达这个系统的映射。

相同的概念，是依据于怎样的不同是可以忽略的定义之上。而这完全是一个主观的概念。

我认为不同的空间，永远不可能是完全等价的。

那么问题就变成：一个生活在三维空间的人和一个生活在二维空间的人是不是永远分辨不出其中的区别？永远不会有不一样的感受？我认为应该不会。

看看，又变成了世界本原的问题了

"互信息": mutual information. 更多技术细节可以查wikipedia.

奇怪, 老兄是真不知道还是为了提问而提问呢?

"高频","低频","信息量" 都是客观度量; "模糊"与其说是主观感受,不如说是借用主观感受的用词, 它可以定义为缺乏高频信息. 这些已经离原文很远了. 要扯葛藤的话, 枝枝蔓蔓永远完不了, 譬如: 什么叫"缺乏","高频"与"低频"如何划分, 等等...

如果读者真想知道这方面的更多知识, 建议先阅读信号处理的教材, 如: Oppenheimer & Schafer的 <<Digital Signal Processing>>.

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本文所论述的, 比具体什么的物理定律要来得深刻. 本文说的是, 三维空间内的所有信息, 都可以涵摄在其二维表面内. 如此而已. 推论是: 三维空间内的所有过程, 都可以在其二维表面内描述. 不管你用什么规律来刻划三维世界的过程, 都可以用一个等价的在二维表面上的规律来刻划.

就是说, "一个生活在三维空间的人和一个生活在二维空间的人永远分辨不出其中的区别." 你自然可以保留你的看法, 但本文的主旨就是这个.

要知道一个频率是高是低，首先要知道两个系统交换的是什么信息，音频还是视频。对耳朵打手电没有意义。这是信息论的基本常识。

我上面的帖子反复证明的就是，判断两个系统是否等价、是否包含，是规定了什么是等价、什么是不等价之后之后的事情，不可能存在在任何角度都完全等价的两个系统，跟两维三维没有关系。

另外，从因果律角度而言，两个系统细节上的不同，最终导致未来某个时间段之后任何观察者可以辨析的区别（蝴蝶效应）。

一个通俗的例子：给定中日的内外条件，几乎任何时候我们可以很安全地说中国必胜。但那个党派能最终取得政权，恐怕直到日本投降为止也并不是确定事件。你的祖先是否能在那场战争中幸存，则完全不是确定事件，无法推理得到，但到现在就决定了你这个观察者是否存在，是否能被别人观察到。

所以，从两个方面来讲，你的

只要不是同一空间，必然不成立。这是个数学问题。

实际上，有的观点认为空间的维数并不是一个整数，而是一个实数。（分形理论）。文摘里的视角类似，推广开来，也许我们永远不知道我们空间的精确维数，但是这个维数更靠近２还是３，我想我们早已知道。

　两个完全一样，用任何手段都无法区分（达到测不准原理极限）的二极管，加载同样的电压，一个不准确的万用表。

　对于这样的简单系统，只要给出足够的测试时间，最终可以产生任何正常工作的万用表可以辨识的区别。我们所说的等价，一定要在有限时间之内，稳定系统之中。

　两个二极管都是如此，更别说俩个宇宙了。

任给两个概率分布函数, 就可以计算它们的互信息了.

频率是高是低, 和系统交换什么信息有关吗? 一个信号本身的频谱就可以算出来了, 这与信息量的计算是两码事. 一维信号的频率也是一维的, 二维信号的频率事二维的(用频率矢量的模来比较大小), 如此等等.

Again, 这些都是枝叶性的技术问题, 或者是不同学科内的定义的不同, 这与主贴没多大关系了. 你若有兴趣的话, 我们可以另开一个数学贴来nitpick.

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回到主贴, 再强调一下"量子化"的"假设": 世界的精度不是无限的, 世界的态数是离散的, 是有限的, 因此可以用 0101000111....来表示, 因此可以计算该系统的香农熵.

这是个抽象的度量, 如果你有个海量硬盘, 能存下整个宇宙的信息量(熵, 用bit作单位), 那么就可以说该宇宙和这个海量硬盘是一一对应的. (从A可以推出B, 从B可以推出A, 其间没有任何信息的丢失.)

就这么简单. 不管你的硬盘是fancy的三维模块, 还是二维的片子, 只要它能存得下这些信息就满足要求了.

现在的发现是: 三维空间内的信息能被包在其外的二维硬盘所存下. (三维空间里的分形的维数小于三, 再说, 不管什么分形, 不管具体什么维数, 只要它能嵌在一个三维空间内就够了, 我们这儿考虑的是上限.)

兄弟再有意见可以给 Scientific American 写信申诉, 或者volunteer作Scientific American的reviewer, 或者给J. D. Bekenstein写email讨论哈.

这一个宇宙的表示方法的问题.

举个例子: 一个直角座标下的函数, 可以等价地在极座标下表示出来. 只要知道变换(x,y,z)<-->(r,θ,φ)就行了, 而并不需要测量出这个函数f在每个空间点(x,y,z)处的具体数值.