主题:偶感 -- tom
或者等腰三角形的弦除以勾,股?
那还有什么好讨论。对任意实数r,令p=2r,q=2,则r=p/q。
相向是合作,那背向是对抗呢,同向了,竞争?
隐藏在这题背后的是矢量的概念,也就是有方向的量,如果让小孩明白有些量是有方向的,有些是无方向的,我觉得就够了。了
新的概念的引入,就是因为原有概念和现实的矛盾。
当出现无理数比值的时候,引入实数来代表就是调和这个矛盾。
我原有的成见在于,没有深刻认识到实数与比值的联系。从数学的发展历史来看,正是对比值的研究导致了实数的概念。
对我们现代人来说,常常会因为教学的关系,倒置数学定理/公理的推导关系。倒不一定是坏事,说不定在某个平行宇宙,这些定理的认识就是相对我们逆序。反正重要的是定理/公理本身。
是因为,孩子成长中,能有父母的亲自陪伴,而不是外包给各种学习班,是最大的福气。对双方都是其实。
大概地说历史上是这样地(西方):人类最早认识的数是自然数,而自然数是离散的,扩展到有理数仍然是离散的。上升到哲学就是原子论,貌似当时占主导地位(其实现在貌似也是),也就是说万事万物,包括数都应该由”单元“组成。但是几何对象确实是连续的,没法全部用有理数表示,但不能这样就不研究几何了啊。所以古希腊人就回避了这个问题,改用“量”的“比”来描述:比如两条线段,其长度是量,这个量可以用p,q表示,不管这两个量是不是可以用数来表示,只要它们能”比“就行,而什么是”比“呢,汉语里直接顾名思义,就是用来比较大小(包括相等)的意思。《几何原本》说:”比是两个同类量之间的一种大小关系“。这样就用”量“的”比“回避了不能用”数“来比较大小的缺憾。
后来人一琢磨,这样做太麻烦了,干嘛不直接把”能比较大小的东西“都叫成”数“呢?管它是什么东西。这样就抽象出了”实数“。
实数出现之前,(几何)”量“不能全用”数“表示。但”量“可以比较大小,也就是”比“。
后来人们把这个关系倒过来了:能”比“的都是”数“,因此”量“就都可以用”数“来表示。所以一切都可以在"数"的框架内讨论。
可能还要加上能进行四则运算
你说的“比”,是比较(comparison),还是比值(ratio)?或者你觉得两者没区别?注意楼主说的“比”可是实实在在的比值(p/q)。
如果是比较,我没意见,现代实数理论的确是用比较和排序来定义实数的,但是比较不一定需要用除法。
如果是比值,恕我不能苟同。例如如果e+pi=p/q,麻烦你说说pq分别是什么?别告诉我p=2e+2pi哟。
是两个概念的比,还是两个测量结果的比,还是两个“实在”的比值呢?
两个概念的比,是不是有种用结果解释原因,用一个式子的变形再带回这个式子的嫌疑呢
两个测量本身没的说
两个“实在”的比,那么两个实在肯定不会同时“有理”
p, q都是量,比“数”更高一点的抽象概念。
我可能借用了大家熟知p,q这两个字符,误导了你的,让你有了过于实在化的联想联系。
亚历山大诺夫也是这么说的。数学家纠缠连续性几千年,直到近代才有了比较满意的理论体系,比实际应用玩了很多年。
以前以为连续性这是只是物理学家的事,粒子还是量子的问题。现在看来牛顿,莱布尼兹既是物理学家也是数学家真不是偶然。
亚历山大诺夫的说法是,不是古希腊人是回避了算术,而是一切现实问题都是几何问题,所以都从“形”上考虑问题。真相只有穿越回去问古希腊人了。
看了一下目录,很不错的样子。
因为这是历史问题, 您不管同意还是不同意都不能穿越回古希腊讲理去不是。
《几何原本》卷V说:”比是两个同类量之间的一种大小关系“。
句读并非是简单的依靠标点符号,虚词虽无实意但有“声”,故刘大櫆说“我之神气即古人之神气,古人之音节都在我喉吻间”。我女儿第一次接触就喜欢上了文言文,全仗有声虚词之韵律美。这样来看,无声的标点符号毫无美感可言。
另外,西方对数学发展的一大贡献是发明了公式,从语言的角度看,公式就好比是自然语言中的句子,以前是没有句子的。所以说,“先乘除后加减”这种口诀其实是有害的,既然是句子,那就要先断句,“+”、“-”作为断句符,级别要高于“×”、“÷”,应该是“先断句后运算”。