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主题:偶感 -- tom
一直不是太明白实数要通过p/q来定义。最近读苏联人写的书《数学-它的内容方法和意义》才明白其中历史渊源。话说这种一边讲数学,一边上纲上线讲辩证唯物主义,批驳唯心主义的书读起来很带感。另一方面唯心著作《一个数学家的自白》也写得相当精彩了。
不知道有没有写这两派数学家典型人物典型故事书出来。
其实数学本来就应该是知识、方法、思想一块讲的。
不是取p或q这个符号的原因,而是用他们比值(分数)的原因。
我曾经以为实数是整数的自然衍生,是数,直接定义他的性质就行了,就像虚数i一样,先有概念再说,最符合直觉的定义是小数,而不是分数。
事实上,虽然高度的抽象性是数学的一大特点,唯物主义的观点认为它的一切抽象性都有其客观世界的对应。
具体到实数而言,它对应的,或者说它要抽象表达的,是现实世界的“连续性”。牛顿的《数学原理》提到:“我们与其把数理解为单位的集合, 不如把数理解为某个量对另一个被取作单位的量的抽象的比。”
从数学的西方起源来说,数早期对源于古埃及的土地测量,后来古希腊人学过去了,对古希腊人一切数学都是几何.在那个几何压倒一切的时期,实数的缘起和发展就是线段/面积/重量的比来比去(测量)中,不能整除,理论与实际的矛盾及其解决过程。
简单说,实数用比来定义,一是因为客观历史需求,以及在数学的某一发展阶段几何对算术在历史上的压倒地位, 二是它本质不是用来记数,而是表达客观世界的绵绵不绝连续性。
我不是学数学的,这只是我读亚历山大诺夫的《数学概观》的体会,不一定全面准确。
上面特意提到西方,是因为,在我看来,中国古代工程技术冠绝全球的发达,数学不可能差,只不过没有独立发展成为一门学科,给个标签,于是现代数学才采用了西方的一套历史叙事。
虽然不是数学专业,数学也是从初等数学到现代数学,我还从来没有读过这样一篇从哲学高度概述/讲述数学的。这种讲述方式应该说有其历史背景。
最近也读了一些美国人写的数学史书,感觉没有这套书书整体性,哲学性强,更多是从历史叙事角度,相比之下感觉有点散。
就像我们的教材,从来没人告诉我为什么在什么阶段要学这个。为什么小学叫算术,中学叫代数和几何,大学叫高等数学/线性代数/复变函数/概率与数理统计,研究生叫现代数学。
可惜我上大学的时候没有读到这本书,不然我可能对数学投入更多精力。原版是1956年的,图书馆里应该有早年版的。
我怎么记得有理数才用两个整数的比呢?无理数例如根号2不能表示为两个整数的比啊。
重点是比。无理数产生于这个困惑:古人测量等腰三角形的斜边比直角边表达不了了。亚历山大诺夫说的,我不背锅。
更新:
你的提问然我又有点迷糊了,我又翻了一下书:
“实数是脱离了具体性质来加以考察的一般量的比。”
“这个数(即比)可以是整数,有理数,或者当给定的量与单位不可通约时,是无理数。”
有理数的概念在这篇文章里基本是个提一下的概念,没有特别里程碑的意义。
教材……不提了
我娃其实很痛苦,每天被老师追着“纠错”,因为老师看不懂她的解题过程,但答案又显然是对的。
我的意思是说,从教育的角度来看,数学教学是很不成功的。
这个例子就是“相遇问题”。
比如甲、乙从两地同时出发,相向而行,甲的速度3km/h,乙的速度是2km/h。按我们常规讲法,就是时间相同,速度比就是路程比,故而甲程:乙程=3:2……
但我认为这样讲太粗糙了,孩子们并不能真正的理解“相遇问题”:
1.我先将原题变为:两只毛毛虫分别从叶子的两端开始啃树叶,大毛毛虫一分钟啃三口,小毛毛虫一分钟啃两口。是不是跟原题一样呢?这个比较容易接受。
2.我继续变:两个工人一块搬箱子,甲从左边开始搬,乙从右边开始搬,甲一趟搬三个箱子,乙一趟搬两个箱子。是不是跟原题一样呢?这个也能接受。
3.但如果接下来问:两个工人显然是在一块合作搬箱子,为什么两只毛毛虫就不是合作啃叶子,原题中的两个人为什么就不是合作走完一段路呢?
这对孩子们来说,就是一次强烈的冲击,一次头脑风暴。
于是我们会说:对啊,相遇的本质就是合作啊!
这样就将表象中的相遇问题转换成了本质上的合作问题。
那么合作我们又该如何理解呢?合作是不是可以“合体”呢?原题是甲乙两人,是不是当成是一个巨人的左脚和右脚呢?两只毛毛虫是不是可以理解为一只双头毛毛虫呢?两个搬箱子的工人是不是可以当成是一个巨人的左右两只手呢?这种“合体”的背后到底是什么呢?是对“整体与局部之关系”的理解。
除了这种“合体”,是不是还有另一种“合体”呢?原题甲乙合体为一个人,速度为5km/h;毛毛虫合体为一只超大毛毛虫,一分钟啃五口……这第二种“合体”的背后到底是什么呢?是对空间序的理解与重构。
仅仅只有这些吗?不,还有。如果仔细体会一下,就会发现传统讲法的立足点是“加减式”,是以甲程+乙程=总程为出发点的;而将相遇问题转换为合作问题后,就回归了问题的本质,即以路程=时间*速度为核心关系式来展开研究。这两种思路看起来似乎都有理,但如果我们切换到混合运算,就会发现:
路程÷(甲速+乙速)
这个算式它是一个除式,而并非是一个加式。这也就是说,传统讲法讲的是这一问题中的次要问题,即加式;合作讲法讲的是这一问题中的主要问题,即除式。
他的局限就在于他没有认识到“语言始终是有局限的”,不过他后面应该是意识到了,所以发现“宗教所倡导的抛开语言来与神相会,即经验到神的存在”才能破解“康德的二律背反”。
具体而言,或可以这么简单的来说:所谓有理数,就是在度量时并没有意识到“度量的角度是180°”,是特殊情况。所以“一切数都是可比数”这种说法并不成立,也就是说并不能总是可以用“辗转相除法求得两数的公约数”,因为存在“无限循环”的情况,这里的 无限循环并非是指无限循环小数中的无限循环,而是指无法用“辗转相除法”求得正方形的对角线与边长的公约量。所谓无理数,就是把角度考虑进去了,这也就是后来出现的“余弦定理”。故而从“意会”的角度来,无理数才真正表述了连续量。可是,虽说三角函数是用来解决“直曲互换”问题的,然而难点却是角度如何表述连续?我们有办法吗?这就好比问:人类有办法抓住自己的头发将自己提起来吗?这不光是数学语言的“死穴”,而是一切人类语言的“死穴”。这是第一个问题。
第二个问题就是你后面提的那句话:中国数学不可能差,但为什么后面没落了呢?有人说,这是因为中国人不讲系统,而西方人重视体系的构建,然而这种看法可以说是相当片面的,当今对“系统”的迷信已经达到了空前的程度,而忘了一个最简单的事实:所谓序,既包含了有序也包含了无序,所谓变,既包含了变也包含了不变,所谓系统,既包含了系统也包含了非系统。
只是历史上一个阶段的认识,也不是亚历山大诺夫在文章中最后采纳的定义,相反他认为所有的数学定义都会向前发展的。
但我读到这儿时,是焕然大悟的一个点,仿佛发现了历史真相。我以前的误区思维是实数是个数,正是牛顿的“与其”部分。
中国在近现代数学没多少位置,这本书也给了我一些想法。
亚历山大诺夫认为符号语言体系的建立是数学发展的必须, 汉字却是反符号的。几千年来,用乎也矣这些词作句读,标点符号的广泛采用好像是新文化运动后。
所以中国几乎不可能产生现有形式的数学学科体系。但是数学知识毫无疑问用在了历史上的所有工程成就里面里,比如桥梁。因为不自成体系,所以没有像文史哲那样精细的分类和记载,失传不少也未可知。
无理数也能通过p/q来定义?