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主题：偶感 -- tom
家园 偶感 一直不是太明白实数要通过p/q来定义。最近读苏联人写的书《数学-它的内容方法和意义》才明白其中历史渊源。话说这种一边讲数学，一边上纲上线讲辩证唯物主义，批驳唯心主义的书读起来很带感。另一方面唯心著作《一个数学家的自白》也写得相当精彩了。
不知道有没有写这两派数学家典型人物典型故事书出来。
- 复 偶感
家园 推荐《重温微积分》 大概地说历史上是这样地（西方）：人类最早认识的数是自然数，而自然数是离散的，扩展到有理数仍然是离散的。上升到哲学就是原子论，貌似当时占主导地位（其实现在貌似也是），也就是说万事万物，包括数都应该由”单元“组成。但是几何对象确实是连续的，没法全部用有理数表示，但不能这样就不研究几何了啊。所以古希腊人就回避了这个问题，改用“量”的“比”来描述：比如两条线段，其长度是量，这个量可以用p，q表示，不管这两个量是不是可以用数来表示，只要它们能”比“就行，而什么是”比“呢，汉语里直接顾名思义，就是用来比较大小（包括相等）的意思。《几何原本》说：”比是两个同类量之间的一种大小关系“。这样就用”量“的”比“回避了不能用”数“来比较大小的缺憾。
后来人一琢磨，这样做太麻烦了，干嘛不直接把”能比较大小的东西“都叫成”数“呢？管它是什么东西。这样就抽象出了”实数“。
家园 谢谢推荐 看了一下目录，很不错的样子。
家园 是这样的 亚历山大诺夫也是这么说的。数学家纠缠连续性几千年，直到近代才有了比较满意的理论体系，比实际应用玩了很多年。
以前以为连续性这是只是物理学家的事，粒子还是量子的问题。现在看来牛顿，莱布尼兹既是物理学家也是数学家真不是偶然。
亚历山大诺夫的说法是，不是古希腊人是回避了算术，而是一切现实问题都是几何问题，所以都从“形”上考虑问题。真相只有穿越回去问古希腊人了。
- 复 是这样的
家园 与其说是在研究离散与连续 不如说是在研究“形式”与“内容”的关系。西方人不光是数学中创造性的发明了式子——即句子，并且在生产体系中创造性的发明了（广义）流水线——其实相较于古老的手工业这种“造字”阶段，近现代工业显然处于“造句”阶段。正因为如此，现代社会中，个体的价值感越来越低，如同有了句子之后，（除了一些基本词汇之外）大量的字词便要结合上下文放在句子当中来理解一样。
追根溯源，我们会发现在历史的某个阶段，西方人更为重视“形式”，譬如你所说的古希腊人对几何学的着迷。而新“形式”的出现，推动了“内容”的大发展；“内容”的发展又对“形式”提出了更高的诉求——如此才有了今天的网络世界。
- 复 偶感
家园 PI 怎么用p/q 来定义 无理数也能通过p/q来定义?
家园 pi= p/q, p代表圆的周长，q代表其直径？ 或者等腰三角形的弦除以勾，股？
家园 pq可以是任意数？ 那还有什么好讨论。对任意实数r，令p=2r，q=2，则r=p/q。
家园 最早p,q是”量“，而不是”数“ 实数出现之前，（几何）”量“不能全用”数“表示。但”量“可以比较大小，也就是”比“。
后来人们把这个关系倒过来了：能”比“的都是”数“，因此”量“就都可以用”数“来表示。所以一切都可以在"数"的框架内讨论。
家园 你和楼主说的“比”是一回事吗？ 你说的“比”，是比较（comparison），还是比值（ratio）？或者你觉得两者没区别？注意楼主说的“比”可是实实在在的比值（p/q）。
如果是比较，我没意见，现代实数理论的确是用比较和排序来定义实数的，但是比较不一定需要用除法。
如果是比值，恕我不能苟同。例如如果e+pi=p/q，麻烦你说说pq分别是什么？别告诉我p=2e+2pi哟。
家园 问题的实质是在有理数的王国里，周长与直径的比值没有户口 新的概念的引入，就是因为原有概念和现实的矛盾。
当出现无理数比值的时候，引入实数来代表就是调和这个矛盾。
我原有的成见在于，没有深刻认识到实数与比值的联系。从数学的发展历史来看，正是对比值的研究导致了实数的概念。
对我们现代人来说，常常会因为教学的关系，倒置数学定理/公理的推导关系。倒不一定是坏事，说不定在某个平行宇宙，这些定理的认识就是相对我们逆序。反正重要的是定理/公理本身。
家园 前面的比方里 是两个概念的比，还是两个测量结果的比，还是两个“实在”的比值呢？
两个概念的比，是不是有种用结果解释原因，用一个式子的变形再带回这个式子的嫌疑呢
两个测量本身没的说
两个“实在”的比，那么两个实在肯定不会同时“有理”
- 复 偶感
家园 你说的到底是实数还是有理数啊 一直不是太明白实数要通过p/q来定义我怎么记得有理数才用两个整数的比呢？无理数例如根号2不能表示为两个整数的比啊。