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主题：求教一个概率问题 -- 飞天传说
家园 求教一个概率问题 大学里学的概率论全忘光了，和朋友吹牛的时候碰 到一个问题被问住了，来这里请教一下。
现在一个商店里卖一种球，球的上面有一个随机的1到8的数字，每个球一块钱，球的数量是无限的。那么现在的问题是要把所有数字的球都收集齐，请问平均成本是多少钱？
关键词(Tags): #概率，- 复 求教一个概率问题
家园 周师傅的答案准确。写的更数学化一点 设N_k，k=1，2，。。。，8是得到k个不同球所需要的球数。目标是求E[N_8]。直接求不好求，但E[N_1]=1，利用几何分布易求E[N_（k+1）-N_k]=8/(8-k)，k=1，2，。。。，7。所以E[N_8]=1+8/7+8/6+...+8/1=21.74286。
- 复 求教一个概率问题
家园 再请教一下, 要达到95%的可能性,需要多少钱? 原问题:
现在一个商店里卖一种球，球的上面有一个随机的1到8的数字，每个球一块钱，球的数量是无限的。那么现在的问题是要把所有数字的球都收集齐，请问平均成本是多少钱？
再问:
要达到95%的可能性(把八个不同数据的球都收齐),至少需要多少钱?
- 复 求教一个概率问题
家园 是我想复杂了了么，我怎么觉得这个题得用高等数学 而且实际上不是一个概率问题，而是一个组合问题。
我是这么考虑的，存在这样的可能：即永远也拿不齐8个球，最简单的情况就是一直拿一种数字的球，拿了无穷多，成本无穷大，当然因为这个概率也是趋于0的，所以还是可以计算平均值。
所以我的思路是，
拿8个球就达到目的的概率是多少？1*7/8*6/8*...*1/8=8!/8^8,此时成本是8元
拿9个球达到目的的概率是多少？注意，这时前面这个式子，亦即8!/8^8是不变的，因为只要你拿全了所有的球，就必然经历了这8个过程（1件事分n步，乘法原理），那么多出来的这个重复球，可能是第2~8个，那么假如是第2个拿的，概率是1/8，第3个拿的，概率是2/8...第8个拿的，概率是7/8，总概率是8!/8^8*(1/8+...+7/8)，（1件事n种可能，加法原理）。此时成本是9元。
所以平均成本写成和式就是∑[n=0->∞]8!/8^8*f(n)*(8+n)
这里的f(n)在n=0时，即8个球就达到目的时，f(0)=1，在n=1时，即9个球达到目的时，f(1)=1/8+...+7/8=7/2。10个球的问题我想了很久，发现这里又出现了一个组合问题，所以目前f(n)的形式我还没推导出来（唉，忘掉高数许久了……），不过这显然不是一个简单的函数，所以我认为这个求和式需要积分才能得出结果，当然如果lz只需要数值解，matlab就可以搞定了。
家园 每一次都是几何分布 几何分布的期望是1/p
- 复 求教一个概率问题
家园 我的是错的。新法和周师傅一样。 我的是错的。新法和周师傅一样。
这个算的好像是确保拿全所有号码的成本。
八的八次方除以八的阶乘。就是8^8
除以1*8*7*6*5*4*3*2*1 ，
大约是：416 块钱左右。
家园 关于416这个数字的意义 如果我理解不错，这个数字是一次试验中，取到所有数字的概率的倒数。
我也认为这个题目无法“确保”取到8个不同的球，理由见楼下。那么这个倒数的数学意义究竟是什么呢？
如果这个倒数没有意义，那么在计算平均成本的时候，为什么可以把八次购买中每一次取得所需号码的概率取倒数呢？
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顺便问一个困扰我的问题：
扑克牌豪斯游戏中，同花顺（五张一样花色连续的牌）赢四张同样点数的牌（比如四个K）。但是在52张牌的任意组合中，同花顺比四张同样点数的组合要多不少。为什么是这样的胜负关系？
家园 同花顺怎么会比四张同点的组合多呢? 同花顺怎么会比四张同点的组合多呢?还有另外一张散牌也要考虑的
家园 因为球的数量无限，所以， 没有确保！
家园 题目问平均花费，所以才有解。
家园 错了，应该是21.7429元 如果要求收集1个不同的数字，那么需要8/8次。
如果需要收集2个不同的数字，需要在1个数字的基础上进行8/7次（因为取得新数字的概率是7/8).
依次类推。
如果相要收集全部8个数字就是8/8+8/7+8/6+8/6+8/4+8/3+8/2+8/1多次。
另外，1000000次的随机实验平均结果是21.7430。matlab模拟的。
家园 同意这个。我开始是把他们乘起来了。