主题：【过节了】大家来做数学题 -- 糖醋兔子
家园 【过节了】大家来做数学题 一个正圆形的湖，你在湖心划一条小船；岸上一妖怪，他奔跑的速度是你划船速的四倍，而且精通逻辑。问题是：怎么能跑到岸上去不被他逮到？
家园 这道题目不难做 当你以半径为1/4R的圆圈划船的时候，你将和他可以永远在同步轨道上运动。那么你可以划船以略微小于1/4的圆圈划船，那么你就可以渐渐地将他甩开，他永远不能和你保持同步，你将可以划到和他相隔圆心的地方成为一个直线，在这个时候你脱离圆圈划向最近的湖边，那样你只要划略微大于3/4R。所需时间为3r/4v,而他需要pir/4v。当然你的所划的圈子不能太小，掉进（4-3.14）/4之内。
最后一个问题：你不是说你在澳洲么？澳洲什么节日？
家园 突然想起来,精通逻辑四个字有陷阱啊 妖怪能不能拐弯?划船要不要拐弯?拐弯的加速度是多少?没说,那可真有可能没解
家园 我的想法。 刚出发时，不断调整方向始终瞄准妖怪所处位置过圆心直线和另一边圆周相交的点。（渐开线？螺旋线？）当船顺运动方向离岸的距离不到pi*R/4的时候，不在改变方向，直线运动，刚好在妖怪赶到之前上岸。应该是一道微积分题，可惜基本上还给老师了。
我的感觉这里似乎有一个极限，当妖怪的速度超过划船者一定倍数，就无论如何跑不掉了。
- 复 我的想法。
家园 “狼给兔子出主意” ---- 打一成语 哪有那么复杂，还微积分呢？离岸pi*R/4，就是离湖心R-pi*R/4，令其为a，a = (4-pi)*R/4 < R/4，船在以为a圆心的圈上，跑的比妖怪快，很简单就能达到你要求的位置。问题是，在湖心挺安全的，上岸去干吗呢？
兔子JJ，红包拿来！
家园 不上岸会饿死的...红包的没有,红花一朵 家园 你说的没错，脸绿中。。 爱MM周末熬夜啊？还这么不给我面子
家园 怎么又绿了? 难道是"防冷涂的蜡"?
a<R/4, 你让兔子怎么上岸?
你原来的想法是对的, 不要狼一碰上MM就没了原则.
- 复 怎么又绿了?
家园 大概是这样的。 原来想的是一个连续过程。爱屋及乌的方案是先到达以a为半径的圆上，然后在这个圆周上运动----沿这个圆运动的角速度 ，比妖怪在岸边运动的角速度快。完全可以运动到和妖怪相对的位置，然后背向妖怪朝岸边跑。。。
这样应该没错吧。如果妖怪的速度是兔子速度的4.14倍，这个方案就不可行了。不知用原来的方案能不能逃走呢？
- 复 大概是这样的。
家园 错了 既便在这个以a为半径，以湖心O为圆心的小圆上运动到与狼相对的位置，也没用，因为一旦你离开这个小圆，打算走直线上岸去，狼就可以追上你了。所以你只能一直在小圆上转悠。
你最初的想法是对的。
- 复 错了
家园 不是沿切线向岸上跑 a = (4-pi)*R/4, 在这个圆上到大圆湖岸的最短距离是走过圆心的直线，直线距离为pi*R/4。
当兔子运动到与妖怪相对的位置，运动方向转90度向湖岸跑，兔子要跑的距离是pi*R/4（同心圆之间的垂直距离), 而这时妖怪要跑的距离是pi*R（半圆）, 因妖怪速度是兔子的4倍，二者所花时间相等，兔子刚好在妖怪赶到之前上岸（极限情况）。当然有两个假定：1。掉头不需要时间，2。上岸即安全。
我原来的设想也是可行的。
家园 好吧，你说得对 但狼是懂逻辑的。对于爱MM的提议，只要兔子在最佳位置的时候，狼不呆在最差位置就可以了。实际上，当兔子沿小圆运动而远离狼的时候，狼就沿湖岸追兔子；当兔子沿小圆运动而靠近狼的时候，狼即稍息。
要逃离这只精通逻辑的狼，兔子需要一直向着背离狼运动的方向（比如沿狼运动方向的切线）运动，伺机登陆。
- 复 好吧，你说得对
家园 怎么就绕成狼和兔子了? 肚脐眼同学,你的答案捏? 家园 讨论一种兔子的策略 即：沿着与狼追赶方向正交的方向逃跑。
1 兔子在湖心O点，狼在湖岸W点。OW所在直线为直径，将圆分为两半。
2 由于狼懂逻辑，则有：
2.1 当兔子沿朝向狼的方向（此时是OW）逃跑时，狼静候不动；
2.2 当兔子向某个半圆内逃跑时，狼沿该半圆圆周追赶；
2.3 当兔子沿背离狼的方向（此时是OD）逃跑时，狼随机选择某个半圆方向追赶。
3 追赶发生后的任一时刻，上述原则仍适用。
4 兔子也必须懂逻辑，才可能逃离成功。
5 兔子与狼的策略：
5.1 T = 0时，兔子沿OD方向逃跑，狼沿上半圆追赶；
5.2 狼离开初始位置时，兔子随即改变方向，沿与狼追赶方向正交的方向继续背离狼逃跑；
5.3 由于兔子仍处于对狼而言的上半圆内，狼继续沿上半圆周追赶；
5.4 如果此过程持续下去，那么，狼的轨迹是圆O。兔子的方向始终与狼差π/2，所以轨迹是小圆O’。由于兔子的速度是狼的1/4，则小圆半径为大圆的1/4；
5.5 设T = t 时，狼沿湖岸跑至C点时，绕O转过圆心角θ。兔子也绕小圆O’转过θ角，运动至H点。
5.6 兔子判断此时登陆最有利，于是改变策略，走直线向S点登陆。S点为过C、O直径与圆O的交点。
5.7 设小圆O’半径为1，则大圆O半径为4，弧CS长4π。由于狼的速度是兔子的4倍，因此要求HS的距离小于π，兔子才能安全登陆。
5.8 求解过程如图。
5.9 C点坐标：（4cosθ，4sinθ）；S点坐标：（-4cosθ，-4sinθ）
5.10 H点坐标：(-sinθ，-（1- cosθ）)
5.11 | HS |最小值为根号10，约等于3.16，大于π。
5.12 因此，兔子无法逃离。完。
5.13 中国东汉的张衡提出π≈根号10 。谨以此兔献给张衡。
5.14 兔子也可以采取其他的策略，比如：当狼追赶时，兔子不选择与狼追赶方向正交的方向，而是选择过狼与兔子所在直线的方向背离狼逃跑。这样，兔子的轨迹将不是圆。设兔子向OD方向运动dx距离后，狼绕圆O转过dθ角，沿圆O跑过4dx，此时，过狼和兔子做直线。兔子沿此直线继续跑dx距离，狼又绕圆O转过dθ角。。。如此进行下去。数学好的可以算一算，我感觉兔子还是靠不了岸。