主题：读维特根斯坦（罗素悖论） -- texasredneck

读维特根斯坦（罗素悖论）

维特根斯坦在《逻辑哲学论》中说：

3.332 何命题都不可能述及自身，因为命题指号不可能包含于自身（这就是全部的类型论）。

当我们说“太阳”或者“张三”到底是什么意思呢？按照维特根斯坦的解释，那不过是一个指号，指向那个我们能够有经验的东西。太阳在英语里是“sun”，张三也许有另一个称呼，比如张教授，没有关系，因为那个词有意思不是其本身，而是它们代表了某个东西，我们不能从语言中得到这个指号意义，太阳并不是一个在语言中存在的东西，虽然我们能有这个指号。

既然这样，必然是词只有在句子中才有确定的意义。比如说要是在生活远离太阳系的另一个星球，我们就可能不知道什么是太阳，根本看不到。

类型论是由于罗素悖论而产生的，因为这个悖论反应了语言逻辑中关键问题，所以可以轻易找到例子。我来举一个自己认为容易理解的例子：某某部的人从来就不说实话，有一回“境外势力”策反了某某部的一个官员，让他说出了“我们永远都是在撒谎”。

但是，“境外势力“不要高兴得太早了，此人懂类型论，知道这一句话没有意思，因为“我永远都是在撒谎”是不能包括这一句话本身的，不然的话，悖论就来了。如果这一回是在撒谎，那意味着他说了实话；如果他说了实话，那么他就不是永远在撒谎。

如果是假话，此人就说了实话；如果是实话，那就是在撒谎，怎么都不能对。

因此，此人必须说：“我以前都是在撒谎，但从今天走上台起，我决定说实话。”这就对了，可以给身份了。严格逻辑分析是这样的：我以前说的话构成了一个集，特征就是假话，但从现在就是另一个集了。我不能在一个集里面叙及自身，而在另一个集里面就怎么都可以说了。

当然，这只是一个笑话，而且没有人会认为自己是一个骗子。实际上人们最喜欢说的是：我不像别人那样骗人，你永远相信我好了。但是，谈过恋爱都会知道这一句话是多么地靠不住。

不管怎么说，这个笑话反映的逻辑问题却是再真实不过了，其重要就是指出了：任何一个语言系统（指很强的，像我们所说的自然语言，英语，汉语）在逻辑上不可能是完备的，都必须依赖于这个系统之外的东西。或者说：我们用某个语言描述世界，那么这个语言就无法再来描述自身。这个观点非常，非常之重要。我试图用简单一点话来阐明，恰不恰当我没有把握。

比如用钱可以买到所有的商品，那么当然，钱本身就不能是买来的，必须得用劳动来换取，或者像伯南克一样干脆印。

圣经中有一句话很有意思，当你裁判别人的时候，你自己也会被别人裁判。问题就在于这里，人人都在裁判别人，那么，你自己应该由谁来裁判呢？

如果还是由你来裁判，那还了得，绝对是自大狂，这个世界就变得只有你一个人了；如果你必须得由别人来裁判，那么你的裁判的意义就是一个大问题。

这实际上是一个非常浅显的道理。

所以说，学一学逻辑对谈恋爱还是会有帮助的，人不是在谈恋爱时道德水准下降，而是有其逻辑上的苦衷，评价自己的同时又评价别人在逻辑上总有点怪怪的。当然，我根本不指望对谈恋爱的同鞋会有什么帮助，因为爱情不是建立在逻辑之上的，而是建立在“我永远相信你”这一类语言上的。我希望的是，在你认为上当受骗的时候，想一想这是一种逻辑必然，以前，现在，将来这个故事都在一成不变的上演，这样心里要好受得多。

我们来进一步讨论，有一种外星智慧生物，有强大的计算机，能够阅读地球上所有的网页，但是不能看到图像，那么结果极为明显，他们什么都不能知道。

他们能知道human 等于人，或者法语，德语等等等的一个单词，转来转去不能有任何实际意义的东西。当然，他们知道人一定有个脑袋，但什么脑袋，又转来转去得到了另一大堆单词，但永远还是不能知道人是一个什么东西。

我们可以想一想孩子是怎么学到语言，毫无疑问，决不是通过语言学到的，因为他们还根本没有语言呢。妈妈指着他的鼻子，告诉这是鼻子；他在走，妈妈告诉这就是走；等等等。

这就是维特根斯坦所说，人不可能通过语言来学习语言的，不是说你不可能通过中文来学英文，而是说，你必须得有一种（几种）母语，母语就不是能通过别的语言学到。

所以维特根斯坦《逻辑哲学论》中说，语言之所以能够有意义，就在于其是这个世界的图像（这个图像是在非常广泛是意义上说的），语言自身并不涉及意义，只有这个世界才有所谓的意义，说语言有意义只是说其企图表达这个世界的某种图像。

罗素在哲学上最大的贡献就是以他命名的悖论，其反映了我们用集合来建立概念，进而讨论哲学面对着的根本的局限性，无法绕开。这里有一个概念我认为有说的必要，罗素悖论是不可以被解决的，就是说你能证明其不是一个悖论。无论谁能做到这一点，那无疑将成为当代最伟大的人物，因为整个现代数学，哲学都要改写。

类型论只是在这个悖论的基础之上，来想办法处理数学和哲学问题。有点像因为重力我们不能飞，于是我们发明了飞机。当然，飞机并不能让重力消失。

我想可以这样说，如果发现万有引力是找到了一个物理世界的规律的话，那么罗素悖论就相当于奠定了我们思维的一个根本原则。

所以它非常重要，值得再进一步举例。

有人说：民主就是什么都可以说，所以我能说民主不对。这个弯弯绕不知在多少地方出现过，搅得人头大，我尝试着用类型论来把它弄清楚。

这样来看：把所有的人分为二个集，相信民主（任何都可以说）的是一个；另外的人是另一个。说话的人如果属于前一个，那么根据类型论，他不能叙及自身，不能说民主不对，那就属于另外的一个集；如果他属于后一个集，就不能用前一个集特征，因为那就是说他属于前一个集。

这里要千万当心，这里不是所谓的矛盾，所谓矛盾是只有一个是对的。但是这里的真正含义是不能判断，不能说对，也不能说错。传统哲学由于都与那个“一”有密切关联，所以什么东西不是对的，就是错的。而罗素悖论却清楚地告诉我们，无关对错，有的话纯粹不能有意义，这一点绝对重要，传统哲学与语言哲学的区分可以说就在这一点上。

再来说一个经常可以在网上看到标题，证明了上帝不存在，读一点数理逻辑就知道是一个笑话。虔诚的教徒认为上帝创造了一切，上帝恒为真，这个意思在数理逻辑中称为重言式。所谓重言式就是不要条件的，空集都蕴含重言式，所以否认不了。

具体一点讲吧，如果认为上帝创造了一切，当然也包括了逻辑，这样一来你就不能用上帝创造的逻辑再来证明上帝不存在，这里就撞上了罗素悖论，那是你的逻辑有问题，因为何命题都不可能述及自身，上帝根本就一点事都没有。

我不知道大家读懂了这一点没有，这里和前一段例子是类似的。你不能说他的逻辑自身有矛盾，因为所谓的矛盾就是逻辑矛盾。你不能又接受他的逻辑，又来说他的逻辑不对，那么到底你是在哪一个集里面呢？

所以当你要否定上帝的时候，首先得打破那个重言式，也就是说，你得相.信.逻辑不是上帝创造的，然后才能说上帝不合乎逻辑。就是说你要在逻辑上否认上帝，必须得说明说你的逻辑和经院哲学的三段论不同，这恰好是我在前面已经说过了，罗素就是这样做的。

注意这里我说的相信，不是证明，因为所谓证明就是逻辑，你不能用逻辑来证明或者否认逻辑，那就正是罗素悖论所指明的限制。你当然可以用逻辑讨论其它任何东西，但不能讨论逻辑本身，因为“何命题都不可能述及自身”。

所以说，上帝是一个相不相信的问题，而根本不是一个逻辑问题。按照维特根斯坦的意见，上帝不是一个哲学命题，在哲学里，我们无话可说。

如果你读了我的前一篇，就会知道民主也不是对不对的的问题，同样是一个信不信事情。换言之，你是愿意生活在所谓民主制度之下，还是相反；由于几乎所有的国家都说自己是民主的，更精确得说，你愿意生活在那一种民主之中。

这不过是各人自己的选择。

再来继续一些不那么严格的“笑话”。有个男孩对一个女孩说：因为你长得太漂亮了，导致任何人都在对你动歪脑筋，所以你只能相信我。

看了前面，我想应该能够看出问题来，任何人也应该包括男孩，这样他就不能相信。只要没有被爱情弄得昏头的人都大概可以明白，其他人不知道，恐怕这个是男孩正在“动歪脑筋”，他应该加一句“除了我以外”。但是，他的前提太强了，后面就难以让人信服。

传统哲学都有点像这个男孩说话，你只能相信我，别人都不对，难免让人生疑。而维特根斯坦的说法是：关于漂亮是一个不能确定的东西，人人看法并不一致，说了没有意义；而应该说：只有我才能欣赏你的美，所以你还是从了吧。

看来哲学对谈恋爱也许能有些帮助。与此类似，维特根斯坦认为：“一个人的哲学是气质问题。”

你相信那一种哲学，只是你从了那种哲学。

这个说法可绝不是偶然的，因为由于罗素悖论，我们可以得到一个极重要的结论：

真理不但不能自证其身，而且连讨论自己资格都没有。

自己证明自己在逻辑上就是把结论那个集的命题拿到前提的集里面去了，而罗素悖论讲地却是在前提的集里面，根本不能出现有关于这个集的命题，两者并不一样。前者很容易看到错误早就知道，除了某些精英人物，人们都不是这样说话的；后者就要隐蔽得多，所以一直到上个世纪人们才知道。

而在传统哲学里面，真理是有一种绝对意义的，不管什么情况下都是真理，局部真理只是一个笑话。但是罗素悖论告诉我们，不能定义一个包罗万象的集合，特别地，集合不能包含自己，或集合不能以自己为元素，否则将犯逻辑错误。

如果我们不能把真理看成一个神规定的理念，其只能是一个集合。定义一个集合有二种方式，第一，给出一些性质，凡是有这些性质的就是真理，第二，列举，一一地说出来。

先看第一，给出性质怎么看都有些不可能，你不能说真理的性质就是真理，在逻辑上那叫做同义反复，什么都没有，等价于我说真理就是真理；由此你也不能说真理就是永远是正确的东西，因为永远正确和真理等价，仍然是同义反复。如果真理能用性质来定义，那就是在说有比真理更基本的东西，显然有问题。

列举更是马上就遇到问题，比如说绝对真理是一个集，其中包括数学真理，科学真理，社会真理，等等等，这些真理仍然是一个集合，我们再把每一个学科的命题放进去不就是可以了。

但是，哥德尔告诉我们：“我们永远不能发现一个万能的公理系统能够证明一切数学真理，而不能证明任何谬误。”“如果一个（强度足以证明基本算术公理的）公理系统可以用来证明它自身的相容性，那么它是不相容的。”《维基百科》我认为哥德尔不完备定律可以简单地理解为：数学公理系统不能是完备并且相容的（完备指包含了所有需要的东西，相容指自身无矛盾）。比如说，平面几何是相容的，但它对整个数学来说并不是完备的，因为在它的基础之上，不可能建立整个数学。任何数学系统只要强到某个程度（足以证明基本算术公理），那么其相容性就有问题。

不存在所谓绝对真理可以说是哥德尔不完备定律的哲学解释，因为那不合逻辑，其与罗素悖论有着紧密联系。用罗素悖论还可以说，如果就算你不管用什么办法作出了真理的集，但是这个集本身不能属于真理，这个问题就更大了。

所以说，如果你相信逻辑，那么那种原来人们所追求的绝对意义上的真理就不能存在，原因是语言根本不可能表达。换一句话可能好懂一点，就算一个人在梦里知道了那种真理，是不可能说出来，也是不可以被理解的。这样一看，绝对真理，永远都正确，只能建立在宗教的基础之上，不信宗教或者类似宗教的主义，就不能有那个东西。

进一步还可以说，任何标以绝对的东西自身就不能是绝对的，因为那个绝对的集不能包含自身。如果没有绝对，问题要好解决一些，类型论说我们可以在另一个集里面来解决；一有绝对，意思是自己已经完备而且相容，但是，用语言不可能表达一个绝对东西的集。

比如马克思认为自己找到了人类发展的规律，这绝对是一句绝对的话，我估计没有多少人今天还相信。然而，语言哲学家却是从根本上指出了这句话没有意思，因为没有人能讲清楚这个“规律”的含义，不信你就试一试，为这个“规律”找一个精确，大家都同意的集。我认为这绝无可能，遇到的困境和上面所说的真理会一模一样。

类似于不存在绝对真理的话并不是没有前人说过，庄子就认为我们不能认识自身（梦蝶），但那只是一种了不起的直觉。但语言哲学家却是由语言入手，从逻辑上说明了我们对自身，对这个世界的理解所具有的局限性，我们无法超越。

科学从来不断言自己的意义，它的意义是靠实验，现象，应用来确定的。更进一步说，科学家根本就不承认所谓绝对真理，而总是认为今天的理论并不完善。比如说，相对论和量子力学是现代物理的两大支柱，但两者并不相容，一个是决定论，另一个是建立在概率之上的，这个问题从一开始就困扰着物理学家，爱因斯坦因此想建立统一场论，但到现在仍然不能完成。科学家看起来比较狡猾，不完善才会有钱，有工作。

但今天还有所谓哲学家说自己的东西都是绝对真理，是不是这样就来钱，有工作？也许不是狡不狡猾，而是科学上不能大包大揽，可能马上就出丑；而谈哲学哄死人用不着陪命。

实际上，弗雷格和维特根斯坦都是不怎么谈真理的，罗素到是经常讲，撇开那些嘲讽，他说的真理的意思和传统哲学也是完全不一样的。

由于前面讲了弗雷格是怎么构造自然数的，不讲罗素悖论对数的影响就有点话没有说完，但这一段对理解维特根斯坦的哲学关系不大，只是数学问题。

用弗雷格的方法有一个前提，就是要没有任何限制地构造集，前面构造正整数时就是这样做的，但是由于罗素悖论，构造集必须有所限制，这样做就有了问题。于是就产生有一个意思的结果，前一半用一一对应来构造数还是没有问题，所以只要我们能想到的，能写出来，运算出来的正整数都没有问题，但是无穷大却没有了。

但这是不可以接受的，比如没有n能趋向无穷大这个概念，就没有了极限，没有了极限，整个微积分都不能存在。没有了无限这个东西，数学还能剩下的东西没有多少。

所以不得不加一个假设，正整数是一个无限集合，这个假设直接破坏了把正整数建立在纯粹逻辑的基础之上这个梦想中的目标。在数学中，应该从尽量少假设推出整个系统的所有结论，如果为了某个结果，不得不来一个假设，罗素认为这很让人不舒服，但必须得这样做，无限这个概念是万万不能没有的。

由此罗素悖论被人称为第三次数学危机，数学的整个基础不得不作相应的改变。罗素悖论之前叫做朴素集合论，但在此基础之上不能建立整个数学；于是人们就开始从另一个思路来解决问题，就是建立一系列公理来构造集合（实际上朴素集合论也是从某些假设出发，不过非常简明。最基本的假设是不能证明的，如果能证明，那就不是最基本），以此来建立数学的基础，避免罗素悖论，这叫做公理化集合论，虽然成果惊人，到现在仍然没有完成。

我不知道是否有人会有这样的疑问，你为什么要一天到晚说集呢，答案就是非常简单而直接：不用集合论的观念，无法讨论逻辑。或者说，无法在没有宗教的情况下讨论逻辑。

最后说明一点，在计算机科学里，也有类型论，基本思想是一致的，可以看成是一种具体的应用。