主题：林黛玉、薛宝钗、史湘云选美之迷雾重重。 -- 切地雷

对于一次选美，我们或许不很在意。但如果，评委们选的是有关你我他的国计民生方面的优先次序呢？

比如说，如果有九位大领导，要投票决定我们下一阶段工作的重点是教育、医疗、环境、就业、交通、精神文明等中的那一个，事情就大条了。

大秦猛士已经剧透了，这个选美问题，其实是数学问题。提出来的人是Kenneth Joseph Arrow 阿罗先生。在上个世纪五十年代，他建立数学模型研究一人一票多余三个选项的民主选举制度，结果发现：

It is impossible to formulate a social preference ordering that satisfies all of the following conditions:

满足以下所有条件的社会优先次序不可能达成

1. Unrestricted Domain: For each state X and Y, based on the social preference ordering, society prefers either state X to Y or Y to X. i.e. society can compare any pair of candidates (completeness).

任何两个候选都可以作比较。

2. Unanimity: If everyone in society prefers a to b, then society should prefer a to b.

无例外的优选顺序被保障。

3. Non-Dictatorship: Societal preferences cannot be based on the preferences of only one person regardless of the preferences of other agents and of that person.

无独裁者。

4. Transitive Property: If society prefers (based on social rule aggregation of individual preferences) state X to Y and prefers Y to Z then society prefers X to Z.

x>y, y>z => x>z

5. Independence of Irrelevant Alternatives: If for some X, Y, and Z, X is preferred to Y, then changing the position in the ordering of Z does not affect the relative ordering of X and Y i.e. X is still preferred to Y. In other words, changing the position of Z in the preference ordering should not be allowed to "flip" the social choice between X and Y.

如果x>z, y>z (或者x<z, y<z)，则调换x,y之间的优先顺序不影响z之顺序。

6. Universality: Any possible individual rankings of alternatives is permissible.

完全自由选择。

这一结果被称为Arrow’s impossibility theorem阿罗不可能性定理。他为此获得了1972年的诺贝尔经济学奖。获奖时他只有51岁，是历年获奖者中最年轻的。他完全配得上这一荣誉，因为他的发现太深刻了----一人一票的民主选举制度，居然可能得出极其不合理的结果！根据坎普布尔C. Campbell和塔洛克G. Tullock的计算，投票者数量或可选择项目越增加，产生不合理结果的可能性越大。当投票者增加至15人，选择值增加至11时，产生悖论效应的概率高达50％。也就是说，两次投票中就有一次悖论现象出现。

所以美国国会中的议员大爷们会整出些什么法案，是不是很可疑？

由于阿罗不可能性定理在政治上如此不正确，它一问世就遭遇到铺天盖地的批评，但所有的反对者都不能从逻辑上找出任何漏洞。于是争论渐渐转移到如何利用这一定理来完善民主选举制度，选择可实现的目标（比如放弃1-6中的某些限制条件，常常是5或6），制定合理的游戏规则。

从这一方面来讲，阿罗不可能性定理不是民主选举制度的敌人，而是民主选举制度的诤友呢。

前篇中那种翻山越岭的证明，不会给人直观的映像。如果您没有耐心看下去，说明您很正常。

为了有一个直观的认识，我们还是举一个例子好了：

假设有七个评委，其中三人

贾宝玉、甄宝玉、秦钟认为， 林黛玉>史湘云>薛宝钗

另有三人

老祖宗、凤姐、王夫人认为， 薛宝钗>史湘云>林黛玉

现在轮焦大投票。

如果他投林>史>薛， 结果当然是林>史>薛。 如果他投林>薛>史， 不难得出，结果为林>薛>史。

如果他投薛>林>史， 结果当然是薛>林>史。 如果他投薛>史>林， 不难得出，结果为薛>史>林。

如果他投史>薛>林， 我们会发现，在薛、史之间，史4票对3票，史MM胜，在林、史之间，仍然是史4票对3票，史MM胜.所以史MM排第一。在林、薛之间，薛同样4票对3票，薛胜。于是结果再一次与焦大评委的选择相同。

如果他投史>林>薛， 同理，结果会是史>林>薛。

于是我们发现，焦大是一个地地道道的独裁者。 这不是他点正刚好蒙对了结果，而是无论他怎样说，都是他对！ 最后两种情况尤其诡异：我们明明知道，林、薛第一的选票各有三张，结果第一却是只有焦大一张第一选票的史MM.

天理何在！

前一篇我们讲了一个连环套的例子。与之相比，独裁的问题，很难讲是更糟糕还是好一些。什么是“独裁”？就是说，出现这种情况：评委某某，无论他怎样排序，他给出的顺序就是最后的名次。

这个有吗？

如果我们一定要保证第一篇所列举的条件，那么这个真的有。 而且同样的，不管您怎样增加评委的人数，这个还是有。

下面我们来不严格地证明一哈。证明分三步：

第一： 天堂到地狱，只差一票

a. 假设我们有这样一组评委，他们一致认为林妹妹最丑。那么最后的结论，也应当是林黛玉最丑。

b. 如果同样的一组评委，他们一个个地改变看法，都认为林妹妹最美。那么最后的结论，也应当是林黛玉最美。

C. 林MM从最丑上升到最美，是评委们一票一票改过来的。必然有这么一票，让林MM离开了最丑的位置。我们这一步要证明的是：也就是这一票，让林MM直达天堂勇夺第一，而不是让她暂居第二，由后面的评委把她推上第一的宝座。

我们用反证法。假设这一票让林MM位居第二，宝姐姐第一，湘云第三。（史薛位置可以互换，不影响证明），也就是说，薛>林>史。

现在林妹妹在每一张选票上的位置，不是第一，就是第三，也就是说，薛史两位妹妹之间的顺序，与林妹妹无关。如果那些认为薛>史的评委们都改变看法，从而让整个评委组都认为史>薛,这个不应改变薛、史两位妹妹与林妹妹之间的相对关系。也就是说，虽然现在史>薛，但薛>林， 而林>史。推出矛盾。假设不成立，原命题正确。

这一票，让林妹妹从第三，直接跳到第一去了。

第二： 一c所描述的那一票的拥有者，就是薛、史两位妹妹之间胜负的独裁者。

为方便讨论，我们把那一票的拥有者称为焦大。

假设有这样一组评委，从第一个直到焦大之前，都认为林妹妹最美；从焦大之后，都认为林妹妹最丑；只有焦大评委品位独特，认为薛>林>史。

如果只考虑林、薛之间的名次，这样一组评委得出的结果与一C焦评委改变主意之前的情况等价----那时侯薛>林。（林妹妹当时还在地狱里呢。）

如果只考虑林、史之间的名次，这样一组评委得出的结果与一C焦评委改变主意之后的情况等价----那时侯林>史。（林妹妹已经到达天堂了呢。）

于是组织的结论是薛>史。反之，如果焦大评委认为史>林>薛。最后的结论是史>薛。注意在这个过程中，我们完全无视了其他评委对史、薛两位妹妹的看法。所以在这样一组评委中，焦大就是薛、史两位妹妹之间胜负的独裁者。

第三： 独裁者只有一位。

我们已经发现，焦大就是薛、史两位妹妹之间胜负的独裁者。同理，薛、林之间，也有一位独裁者，林、史之间，也有一位独裁者。 他们是不是同一个人？

假设不是。

薛、林之间的独裁者，我们姑且称之为焦二；林、史之间的独裁者，我们姑且称之为焦三。 如果焦二和焦三哥俩好，他们联合起来，由老二裁定薛>林,由老三裁定林>史；或者那么由老二裁定薛<林,由老三裁定林<史;这哥俩就可判定：薛>林>史或者薛<林<史,从而左右薛、史之间的顺序，使焦大不能够独裁。

所以假设错误。

所以独裁者只有一位！

于是很不幸的，我们千娇百媚的三位妹妹，究竟谁最漂亮，竟然是毫无审美能力的焦大同学说了算了。

• 【原创】胡扯八道，也能被推荐？！

三位美眉的要求，看上去是不言而喻的，甚至是废话。但让我们仔细考察。

比方说，有三位评委，他们分别是： 贾宝玉、薛霸王、焦大。

首先他们在林妹妹于宝姐姐之间做选择。

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宝玉： 我爱她娴花照水，我爱她弱柳扶风。 我选择一号选手林黛玉。

薛蟠： 女儿美，再美美不过我妹妹。 我选择二号选手薛宝钗。

焦大： 讨老婆、生娃娃、过日子。 看上去那个二号象个会生娃娃的。

主持人： 对不起，这里不是非诚勿扰，我们是红楼梦选美大赛。请就选手的美丽和魅力点评。

焦大： 不讨老婆挑哪门子的美？ 我就选二号。

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于是在 林妹妹与宝姐姐之间，薛宝钗美于林黛玉。 我们用 薛>林来表示。 根据条件2、最后的结果也应该保证这个顺序。现在让我们把由于醉卧花丛迟到了，刚刚赶到现场的三号选手史湘云妹妹也纳入视野：

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宝玉： 趣真才妙，海棠初茂，我爱三号！ 史湘云妹妹虽不如林黛玉，也比薛宝钗强。薛宝钗就跟我老娘似的。

薛蟠： 这个，这个，我不喜欢野蛮女友。三号比二号还困难。

焦大： 讨老婆、生娃娃，过日子。 看上去那个三号更会生。 我娶三号。

主持人： 。。。。。。我想焦评委的意思健康活泼就是美。。。。。。

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现在我们统计史MM与林黛玉之间的胜负： 史MM获得焦先生一票，而林妹妹获得了其余两位评委的一致青睐。 林>史。刚才我们已经知道，薛>林。看起来，结果已经揭晓：薛>林>史

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主持人： 现在我宣布，红楼小姐，本次一等奖保时捷的获得者就是，二号选手薛宝钗！。。。。。。当当当当。。。。。。

史MM： 且慢。我认为我才是第一！

主持人： ？解点？

史MM： 在薛小姐与我之间，我获得贾先生、焦先生两票，薛小姐只获得一票。 史>薛，所以我的名次要比小姐强。虽然薛小姐胜过了林小姐，但她只排得第二，得一个山寨IPhone。

主持人： ？？？？？？

黛玉： 如此说来，保时捷该归我。 林>史， 史>薛。 我才是第一。

主持人： ？？？？？？？？？

史MM： 哼哼。林大史？ 我只听说过有个叫史达林的。

主持人： 史达林我知道。前苏联领袖。。。。。。

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我们看到，由于史MM的加入，本来清楚的胜负，变成石头剪刀布的游戏，揪扯不清了。 而且我们很容易知道，加一个评委不能防止这种事情发生。也就是说，条件

第三： 如果每一个选举人都保持各自对于“甲”“乙”顺序的选择，则当 他们 把”丙“ 列入考虑后，“甲” “乙”之间选举结果不变。

不能得到保障。