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主题：【原创】芝诺悖论--兔子为什么永远也追不上乌龟 -- 思想的行者
家园 【原创】芝诺悖论--兔子为什么永远也追不上乌龟 芝诺认为：兔子永远也赶不上乌龟，只要兔子在乌龟的后面跑，不管兔子的速度比乌龟快多少就是无法赶上
他的理由是：
假定兔子的速度是乌龟速度的10倍，乌龟在兔子的前面的10米开始两者同时起跑
那么
当兔子追上被乌龟领先的10米的时候，乌龟已经往前跑了1米了
当兔子追上被乌龟领先的1米的时候，乌龟已经往前跑了0.1米了
当兔子追上被乌龟领先的0.1米的时候，乌龟已经往前跑了0.01米了
当兔子追上被乌龟领先的0.01米的时候，乌龟又已经往前跑了0.001米了
......
这是一个可以无限持续下去的过程，所以芝诺认为兔子永远也追不上乌龟
这个悖论的逻辑扭结点何在呢？
其实说起来也很简单，芝诺把一个数或者一个过程的无限可分，与一个数或者一个过程的无限性给混淆起来了
所谓数的无限可分，1这个自然数可以被无限划分为无穷多个无穷小的数的和，但是1显然不是无限大的
换句话说，无穷多个数的和并不一定是无穷大的，这就涉及到了微积分学上的最基础的概念之一---无穷级数的收敛和发散
微积分认为，一个由无穷多个项构成的无穷级数，它的和可以是有界的数，也可能是一个无穷大的数，如果是前者，那么认为该无穷级数是收敛的，否则认为该级数是发散的，这是微积分的必学课程之一
实际上，兔子追赶乌龟的每个阶段所花费的时间就构成为一个无穷级数，而这个无穷级数是收敛的
为了方便起见，我们假定兔子的速度是美秒10米
那么，根据芝诺的叙述
追赶乌龟领先的10米，兔子花费了1秒钟
追赶乌龟领先的1米兔子花费了0.1秒钟
追赶乌龟领先的0.1米，兔子花费了0.01秒钟
追赶乌龟领先的0.01米，兔子花费了0.001秒钟
.....
可以知道兔子追赶乌龟的总时间为一个无穷级数的和
1+0.1+0.01+0.001+0.0001+0.00001.....
我们知道这个级数是收敛的，收敛于1+1/9,即兔子需要花费1+1/9秒的时间就能够追赶上乌龟
用微积分的级数收敛概念就可以很好的解释芝诺悖论
本帖一共被 3 帖 引用 (帖内工具实现)家园 这是个时间坐标系问题吧？ 实际上我们日常用的时间也可能有同样的问题
家园 好贴 当初我也被这个悖论绕晕过。多谢楼主提供这个解释。
家园 这是一种乌龟坐标，“永远”不是真正的永远 类似的情况在广义相对论的黑洞描述中出现过。有兴趣可以参考方励之（8X8科大那位）的（相对论精义）--提到过或者描述黑洞的书籍。
简单的说，教主的求和就表明了这点。
家园 乌龟运动的速度很慢，所以坐标变换的影响基本可以忽略 如果乌龟运动的速度接近于光速的话，那就是相对论的研究范围了，这个时候坐标系固结在乌龟上还是兔子还是静止的人上面不同，时间的流逝速度，和乌龟的尺寸都会不同。
相对论涉及到了坐标变换的洛伦兹变换，而在物体低速运动的时候洛伦兹变换与伽利略变化的差别可以忽略不计，这也就是为什么在低速运动情况下牛顿力学依然起作用的原因
家园 回答问题啊，1-1+1-1+1-...收敛吗？ 家园 草草看了一遍，教主没什么大错 就是里面废话太多
家园 教主错在逆练九阴真经 本来，正常的逻辑是这样的：
芝诺悖论->极限概念->级数->级数收敛判定
结果，教主非要反着来：
级数收敛判定->级数->极限->解释芝诺悖论
逆练九阴真经，就练成了现在这样。。。
家园 你把历史发展的链条当成了逻辑链条了吧？ 数学很早很早就开始有了
但是数学的公理形式直到20世纪初才开始发展，人们用数学公理来推导数学结论，照你的意思是说
因为有了数学---所以才有了数学的公理，而不是相反？
家园 数学很早开始有也需要有个顺序，你能用三角形内角和180度 证明平行线内错角定理吗？
你的错误，都是小错误，就算承认，也是个“行了”，
还整天咬别人屁股
瞧瞧你的乐善数，你在西西河看了几篇好文章啊？
家园 蒙教主垂训不胜荣幸 要解释清楚级数收敛，首先要解释极限的概念。拿级数收敛判定准则去解释极限的概念，不是走火入魔是什么？
家园 从探讨之诺悖论的角度不需要把极限和收敛的概念搞得那么清楚 实际上极限和收敛的概念不是那么容易搞清楚的
微积分出来了以后两百多年，人们才确立了严格的极限定义，和收敛的定义
牛顿没有搞清楚，欧拉没有搞清楚
印象中收敛的概念是柯西所确定的
极限的定义更晚，是威尔斯特拉斯定义的，这些定义要严格的定义都比较困难
家园 看来你和牛顿欧拉的共性就是没搞清楚 你说你为啥养活不了自己呢？都老大不小了，懂不懂安身立命才能实现理想啊？你
说自己看了一堆书，可你都学会了点啥？能干点啥？就会堆自己不懂的词，四体不勤五谷不分肩不能担手不能提整天浪费社会资源，这不是社会蛀虫吗？对得起你爹妈吗？
没事干在网上追求生活价值，最起码把自己先养活了再说吧，整天空谈爱国，中国要是你这种人多了，早就完了
都快四十岁的人了，不务正业游手好闲，看了点科普的东西就胡思乱想胡说八道，你这是能给自己创造价值还是能给国家社会全人类创造价值？
懂不懂什么叫修齐治平？
要不你找瓦斯资助你做科学研究吧，我看也就他能欣赏你了
家园 有界不一定收敛的，单调有上界才行 交错级数就更不是有界的问题了，所以首先他就不严格，其次，楼下我爱莫扎特:“永远”意味着时间“无穷大”说得很好，时间和空间的问题不是一回事
还有就是芝诺的几个悖论，都是深刻揭示极限、连续这些微积分基本概念的，说微积分可以很好的解释芝诺悖论，就好像说用公式很容易导出阿基米德墓碑上的球和外切圆柱体的体积以及面积比来一样，没有搞清因果关系
要注意速度这个东西，也是个极限概念
看见你拍他了，别半途而废啊，
家园 扯淡收敛一定要单调 1，-1，1/2.-1/2,1/4,-1/4,1/8,-1/8,......
这个数列单调吗？不单调
收敛吗？