主题：【数学题求解】初中的... -- 月色溶溶

已知:x=-1-根号2,求x的5次方+4x的4次方+6x的3次方+6x的2次方+2x+3的值.

**为成方，sqrt为平方根

x=-1-sqrt(2), 所以 x+1 = -sqrt(2)

x**5+4x**4+6x**3+6x**2+2x+3

=x**5+4x**4+6x**3+4x**2+x +2x**2+x+3

=x(x+1)**4 + 2x**2+x+3

这就简化多了。

Can not input Chinese now, sorry

since x(x+2)=1 : (-2^0.5-1)*(-2^0.5+1)=1

x^2+2x=1

x^5+4x^4+6x^3+6x^2+2x+3

=(x^2+2x) (x^3+2x^2+2x+2)-2x + 3 (you can easily get this by suan4 shi4 chu2 fa3)

=1 [x(x^2+2x)+2x+2]-2x+3

=1 [x+2x+2]-2x+3

=x+5

=4-1.414

x=-1-sqrt(2) ==> x+1=-sqrt(2) ==> (x+1)^2=2 ==> x^2+2x+1=2

所以

x^2=-2x+1

所以

x^3=x(-2x+1)=-2x^2+x=-2(-2x+1)+x=4x-2+x=5x-2

x^4=x(5x-2)=5x^2-2x=5(-2x+1)-2x=-10x+5-2x=-12x+5

x^5=x(-12x+5)=-12x^2+5x=-12(-2x+1)+5x=24x-12+5x=29x-12

把以上统统代进去，

x^5+4x^4+6x^3+6x^2+2x+3

=29x-12 + 4(-12x+5) + 6(5x-2) + 6(-2x+1) + 2x + 3

=29x-12-48x+20+30x-12-12x+6+2x+3

=x+5

=4-sqrt(2)

多说句废话：其实线性代数中一些利用Hamilton-Cayley定理的计算，比如矩阵指数函数什么的，都可以那么算。

但是只要按部就班地算，总是可以算出来。下面Landy的办法肯定要好一点。

x=-1-sqrt(2) ==> x+1=-sqrt(2) ==> (x+1)^2=2 ==> x^2+2x+1=2 ==> x^2+2x-1=0

所以

x^5+4x^4+6x^3+6x^2+2x+3

=(x^2+2x-1)(x^3+2x^2+3x+2)+x+5

=x+5

=4-sqrt(2)

then you can get

x(x+1)((x+1)^3+2)+(3-x)

x=-1-sqrt(2),

then final answer = 4-sqrt(2)

要知道(x+1)**3, 1-x**2 = (1+x)(1-x)　（那个1+sqrt(2)就是在凑这个）和因式分解的拆项添项技巧。