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主题：【讨论】给大家出一道初中数学题 -- 迷途笨狼

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          • 复 好图，不过这个余弦算出来应该是 -sqrt(2)/4
            家园 请教如何根据圆形扇面夹角的余弦值，

            推算出扇面的面积？

            今早开会无聊，用手机恶补了一早上三角函数未果。只能强行按计算器。

            • 复 请教如何根据圆形扇面夹角的余弦值，
              家园 扇形面积公式：S = θ/2*r^2，其中θ是夹角弧度

              已知扇面夹角的一半的补角余弦值是 cos(α) = -x，则扇面夹角的一半满足 cos(θ/2) = cos(π-α) = x，因而 θ/2 = cos^(-1)(x)，有的计算器上会用 shift 键切换三角函数和反三角函数，用 DRG 或 deg/rad 键切换角度和弧度单位。

              弓形面积公式：S = (θ - sin(θ))/2*r^2，即扇形切掉三角形部分

              • 复 扇形面积公式：S = θ/2*r^2，其中θ是夹角弧度
                家园 好吧，用弓形求差是更直接的方法，

                可惜弓形的公式我还是理解不了，证明我确实害怕弧度。

                弓形面积公式：S = (θ - sin(θ))/2*r^2，即扇形切掉三角形部分

                我只会用半径为2那个扇面面积 - 三角形面积*2得出S，

                再用半径为1那个扇面面积 - S，然后乘2，再乘400，等于468.39。

                这对我这种智商的人，是最容易理解的了

              • 复 扇形面积公式：S = θ/2*r^2，其中θ是夹角弧度
                家园 那我不是还得按计算器求θ？

                反正算出cos(a)的值很容易，还不如直接按计算器算出a的角度来得快，依稀记得高中时很害怕弧度，常搞混。

    • 复 【讨论】给大家出一道初中数学题
      家园 内切圆面积加上2个大空角面积减去中间椭圆面积

      内切圆面积加上2个大空角面积减去中间椭圆面积等于4个小空角面积。也就是左上角和右下角。

    • 复 【讨论】给大家出一道初中数学题
      家园 对不起兄弟，俺只能算到这里了，见图

      只能到这里了

    • 复 【讨论】给大家出一道初中数学题
      家园 你的方法，方程组显然无解

      擦掉对角线。

      只考虑不可再分的最小封闭区域，令阴影面积为X，内接圆外四角的面积分别为 A（只有左下和右上两块是不可再分的），橄榄形的尖角面积为B，橄榄形中心面积为C，剩下四个对称小块区域面积分别为D。

      已知正方形面积为S，令a=Pi/4。则有已知数的方程只有：

      2X+2A+2B+C+4D = S，甲、组成正方形

      2X+C = Sa，乙、组成内接圆

      X+A+2B+C+2D = Sa，丙、组成四分之一圆，它的面积和圆相等

      -A+B+2D = 0，丁、内接圆外左上角区域

      只有四个线性无关方程，可以证明无解

      你的算法所用到的方程：

      S - Sa = X + A + 2D，即 甲 - 乙

      2Sa - S = 2B + C，即 - 甲 + 丙×2

      A = (S - Sa)/4，即 甲/4 - 乙/4 - 丁/2

      然后你消去A，得

      X + 2D = S(1-a)*3/4，即 甲×3/4 - 乙×3/4 + 丁/2

      都是前面四个方程的线性组合

      替换 x = 2X，y = D， z = C，

      得到你的结果

      x+4y = S(1-a)*3/2

      2y+z = S(1-a)/4

      化简后，三个未知数，对应两个线性无关方程

      并不会改变无解的状态

      你又搞了两个方程，还是这两个方程的线性组合，并没有新的信息

      • 复 你的方法，方程组显然无解
        家园 确实用初中方法，这里只是列了最初步骤

        确实用初中方法，这里只是列了最初步骤

        我做了16条辅助线才找到思路

        tianya博客有提示

        • 复 确实用初中方法，这里只是列了最初步骤
          家园 但你的答案是错的，按你的答案 z > 9y，和图不符

          我已经贴了正确答案（解析解，可以精确到小数点后任意位），你可以参考一下

          实际上y=11.7，z=62.5，z = 5.3y，即 z 沿对角线截一半后只有 2.67y，从图上也能看出和 y 相差不到3倍。

          点看全图

          看图，你的辅助线均已画上，注意到原图和原有方程本来就是对称的，本来就可以分成四份，辅助线并不增加新的信息量。反而，注意旁边刻度，紫色面积显然小于它外面包着的两个黄色三角形，即小于 1600*(1/2-sqrt(2)/4)*(5/8-sqrt(7)/8)/2 < 800*0.1465*0.2943 = 34.492，即 z < 68.99，y > 8.5。黄色三角形的面积已经小于你计算的紫色面积了，更别说紫色的实际面积。

          建议你把自己的推导过程重新整理一下：

          1.先把所有的初始条件写在一边。再把根据这些条件列出的初始的方程写在一边。再把用这些方程推导出的方程（不一定用到的）写在另一边，并记下推导过程。然后整理求解的步骤，把每一步骤，及用到的方程标出，加以对照，可避免使用未列出的方程。

          2.画辅助线时，如果认为点、线重合，而不能证明，最好用计算机作图（如用“几何画板”就简单，一般人也能用），看看是不是真的重合。

          通宝推：迷途笨狼,
          • 复 但你的答案是错的，按你的答案 z > 9y，和图不符
            家园 方程组不行的话高中函数似乎也无解，关键是怎么求出Y

            方程组不行的话高中函数似乎也无解，关键是怎么求出Y

            想过增加辅助线用函数的办法，但y+阴影一部分好求，y不好求

            即——1、四条边的中点相连（相对正方形为斜线）

            2、左下角连接两条边的中点

            右上角连接两条边的中点

            这样一半阴影切割为三部分，一部分为114，另一部分可以用三角形面积-扇形面积得出，y+第三部分（整个阴影共4小块）用三角形面积-扇形面积

            边上三角形sin值为20/20*根号5

            查数学表格得出度数

            90-两倍度数则为中间夹角度数

            早就列出了阴影面积+4y=516的方程，用高中函数只会增加误差，并未求得Y的具体数值

          • 复 但你的答案是错的，按你的答案 z > 9y，和图不符
            家园 宝推好图，下周抽时间再梳理一遍，看看到底哪里错了

            宝推好图，下周抽时间再梳理一遍，看看到底哪里错了

            当时手工做出这个图，先确定里面8个小椭圆面积是228，结合正方形和圆面积，与之直接挂钩的部分不规则形面积也出来了

            设的第二组未知数甲、乙分别对应组成一半阴影的未知数，即两甲中间一个乙（两个乙也可以，不过更容易搞混），围在甲、乙中间为丙

            列出甲、乙、丙与前面设的X、Y、Z关系，一大堆方程（不列了）

            设第三组未知数a、b、c（原先用希腊字母）

            2a对应1/4小圆和1/4大圆的交集

            c为两个1/4小圆和两个1/4大圆形成的像电视塔那样的小不规则型

            b为紧挨小不规则型的甲中一小部分

            我用的办法是利用对称的正方形、圆、三角形逐步理顺不规则形关系（不重合部分形成方程式），结合前面大量方程式求解

            应该是中间出了错误

            我设的第二组

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