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主题：【原创】从一个小学数学问题谈开去 -- lucase
家园 【原创】从一个小学数学问题谈开去 同学参加招聘会，回来后谈到他们面试时候碰到的一个提问。这个问题说：甲、乙两个人沿一条直线段AB分别从A 点和B点相向而行，第一次相遇时甲走了40米，然后两人继续各自前进，走到线段的端点后再折回，第二次相遇时甲离开B点20米，问两次相遇的地方相距多远？
答案是40米。倒也简单，列个方程就一目了然了。但是人家要求用小学生能听懂的方式来做这个问题，我们几个数学系的大学生足足想了有十几分钟也没有想到一个好的初等解法。后来大家都去吃午饭，吃完后看中央二套的全球资讯榜。我突然想到，对于那个问题，实际上确实有更简单的初等方法。明显，从第一次相遇到第二次相遇，因为两人速度不变，而一共走了两个AB，所以甲应该走了两个40米也就是80米，这样第一次相遇的地点距离B应该是60米，从而两次相遇的地点相距40米。这样的方法，比所谓列方程要简单也自然许多了。我向我的同学们宣布了这个方法，我没有料到的是，原来要理解这个更简单也最初等的方法也需要我费一些口舌讲解。
不过，虽然问题已经圆满，我却没有什么感到高兴的地方。回想我从读书开始一直都是参加数学竞赛的，在解竞赛问题上是标准的科班出身，这样的问题，假如放在当时，估计不用费什么力气就做的出来，现在大家学习了高等数学，反而有些不习惯了。或者，在很多时候我们这些在高等数学上训练有素的人，在处理一些初等的问题时反而变的迂回起来，再也不象以前那样直截了当了。我印象很深的另外一件相类似的事情是，一次我返回宿舍，正碰上我的一个室友和他的一个老乡讨论一个平面几何问题，两人在草纸上画了一副图，加了一个坐标系，然后列出了一长串的方程，但是还是没有算出什么结果。他们来问我，我已经忘了具体是个什么问题，只是记得当初我做了一条辅助线，然后用了没有几行就得到了答案。当时他们两个好象还很感叹的样子。其实那个问题，假如在几何上有较好的训练，扔掉坐标系，直接考虑初等的方法，反而更加简洁漂亮，没有什么累赘。
其实我一直都有这样的两个疑问：
第一个：对我们这些在高等数学方面训练有素的人来说，初等数学究竟是什么样子的？
第二个：在初等的场合使用高等数学的方法，有时候是不是已经难以体会那种直截了当的“初等方法”的乐趣？
但是，这其中的第二种情形，有时却往往被当作“技巧”来赞赏。
由此引申开去，现在我们大家都喜欢谈论技巧之类的东西，倘不如此，便好象一副落伍者的样子，尤其是用一些看来好象“高深莫测”的方法，更是让人追捧。这样的时髦，恐怕不是什么好的现象。其实哪里有什么技巧，不管什么样的方法，使劲看穿了，也平凡到不过如此。象Hilbert在Dirichlet原理上的著名工作，以前让人惊叹于他的“妙手回春”，现在呢？这个问题可以当作一个在泛函和PDE上有较好的训练的大学生手中的练习题！其最初的解答已经可以整理成短短的若干行！（请看伍鸿熙的书《紧黎曼曲面》里的一个评论或G B Folland的书《偏微分方程》的相应内容）盖因为过去模糊的概念今天已经很清楚了，而过去需要具体研究的对象今天可以成披处理。而这不是因为我们的方法有多么了不起，而是我们已经很好的理解了旧的方法并做了系统的整理和发展。
我想，不管是在初等的还是在高等的领域里，我们都应该尽量少一些“迂回的技巧”，尽量避免一些“不得要领的技巧”引起的累赘，抓住问题的实质直截了当的解决问题，让数学在我们手中更加干净和漂亮，这才是真正值得提倡的。
本帖一共被 3 帖 引用 (帖内工具实现)家园 xixi，其实还有其他解 不过纯属抬杠了，hehe，如果第二次相遇是乙追上甲了或者甲追上乙了的话...
家园 原题是不是不够严密? 没有指出甲乙的速度保持不便? 家园 这种题目下匀速运动是前提，基本不用说的 否则小孩就懵了。
家园 也是这道题目 五年前在论坛上帮助过一个苦恼的家长，居然现在帖子还在。那题目问的是两地距离，其实类型都一样。
“题目其实很简单，解法也很简单。关键是要用小学生能听懂的话解释清楚。我试试看：
1.第一次相遇时，两人走的路程加起来等于两地距离。
2.第二次相遇时，两人走的路程加起来等于两地距离的三倍。所以，甲、乙走的总路程都是第一次相遇时走的路程的三倍。
3.显然，甲走的总路程要比两地距离多了XX，所以两地距离=三倍距离-XX。
理解了这道题，类似的题目其实都会做了：
“甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，到达终点后再折回。第一次相遇时，甲离A地X；第二次相遇时，甲离B地Y，AB两地相距多少公里？”
答案：3X-Y。
顺便给楼主提个醒：不要让孩子过早使用方程，因为方程可以使思维简化，不利于培养孩子深入思考数学问题的能力，方程是不错的工具，但应该晚点用。使用算术方法，可以很好地锻炼分析和逻辑推理能力。同时注意不要让孩子过早接触代数概念，不要用L代表距离，V代表速度等等，尽量用具体的数字和文字，因为孩子的抽象思维能力还不强，这种符号会泯灭他们对数学的兴趣。”
- 复 也是这道题目
家园 疑问 这里是不是应该是甲第一次走的路程的3倍－xx？
- 复 也是这道题目
家园 说得不错...讲讲如何列方程吧... 做好人做到底...
家园 方程的列法很多 一种就是设路程为S，双方速度为X/Y，得到方程组。
1：XS/(X+Y)=40
2: 3XS/(X+Y)=S+20
然后（式2/式1）得出(S+20)/40=3……搞定。
其实最简单的方程和最简单的算式是一样的，就是方程顺着思路写式子然后求未知数，算式正好相反。
方程式往往会误导我们求出所有的未知数，但是在这个问题中，3个未知数只有1个是需要的答案，所以其他两个要想办法删除——很多人会求出2个无用的未知数，这个题目的陷阱就在这里。
顺便问一句：大家听说过那个冯诺伊曼求无穷级数的传说么？
- 复 方程的列法很多
家园 花...不过,这个列法不直接...不够笨... 知道这样列,就没必要列了...
找个直接一点的,笨一点的....
家园 请看这个够不够笨～ 设S代表AB间的距离；V代表甲的速度；v代表乙的速度；t为从开始到第一次相遇所用时间。
Vt=40.......(1)
vt=S-40.....(2)
=> V/v = 40/(S-40)...(3)
（根据题意，S≠40）
设T为两次相遇之间所用时间。
VT=(S-40)+20=S-20.....(4)
vT=40+(S-20)=S+20.....(5)
=> V/v = (S-20)/(S+20)...(6)
由(3)和(6)，得到：
40/(S-40) = (S-20)/(S+20)
=> (S-20)(S-40)= 40(S+20)
=> S^2-100S = 0
=> S(S-100) = 0
S=0不符合题意，所以，AB间距离S＝100
答案：
两次相遇点之间的距离为100-40-20=40
- 复 方程的列法很多
家园 转 冯诺伊曼的无穷级数 von Neumann曾经碰到别人问他一个估计中国小学生都很熟的问题，就是两个人相向而行，中间有一只狗跑来跑去，问两个人相遇之后，狗走了多少的这种。应该先求出相遇的时间，再乘狗的速度。如果没有什么记错的话，小时候听说过苏步青先生在德国的一个什么公共汽车上，就有人问他这个问题，他老人家当然不会感到有什么困难了。
von Neumann也是瞬间给出了答案，提问的人很失望，说你以前一定听说过这个诀窍吧，他指的是上面的这个做法。von Neumann说：“什么诀窍？我所做的就是把狗每次跑得都算出来，然后算出那个无穷的级数。”……
家园 von Neumann这么酷啊！ 所以在这个题目中，狗的速度是已知条件？或者是可以算出来的？
家园 有些时候简洁的算法很重要 一个很好的思考，其实很多时候用电脑的时候跟需要讲究算法，可惜现在电脑计算能力强大了，很多人就不讲究算法了，从1加到10000，大多数人写的代码可能是
int sum = 0;
for (int i=1; i<=100; i++)
sum += i;
就拿你那个问题来说，如果列几个方程式，和用简单的算法在电脑上实现，资源和计算时间上肯定有大的差别。