主题：【原创】简单而深奥的博彩问题：1.为什么久赌必输？ -- 陈经

以下的数值例子和最优下注策略抄自Patrick Billingsley的Probability and Measure

（以下的轮盘赌假设只允许押红或押黑。获胜的概率是18/38=0.474<0.5）

如果a=900，c=1000。公平赌博(p=0.5)。赌客的目标是增加100块钱。根据前面的公式，他成功的概率是90%。

如果是轮盘赌，成功的概率降为0.00003。

a=100，c=20000。公平赌博的话，赌客成功的概率是0.005。

如果是轮盘赌，成功的概率骤降为3*10^(-911)。这个数和零没有什么区别。

这个例子表明p从0.5稍微降低就会导致成功概率发生急剧的变化。

以上我们假设赌客每次只能赌1块钱。但是改变下注的数额可以改变成功的概率。为方便起见假设a和c都是偶数。如果赌客改为每次下注2块钱，当p<0.5时，成功的概率变为：

P==(r^(a/2)-1)/(r^(c/2)-1)

很容易可以证明成功的概率变大。一个很自然的问题就是什么是最优下注策略呢？

我们用W来代表每次下注的金额，当p<0.5时，最优下注策略是：

W=a，如果a<c/2

W=c-a，如果a>c/2

这个结果叫作Durbins-Savage定理。证明可以查看Billingsley的书。英语里这种下注策略被称为Bold Play。就是争取用尽可能少的轮数达到目标。当初始资金比较少时就将所有的资金都押上。当初始资金超过目标的二分之一时，改为押手中资金和目标的差别。

回到前面的例子。p=0.5时，下注策略不会影响成功的概率。但轮盘赌时，a=900，c=1000，使用Bold Play可以将成功概率提高到0.88。a=100，c=20000，使用Bold Play可以将成功概率提高到0.003。

Bold Play是最优策略的道理在于，每次下注的金额越小，需要的轮数就越多，Law of Large Numbers就越起作用。由于p<0.5，每次下注的预期收益m是负数。当每次下注金额趋近于0，平均收益以1的概率趋近于m<0。这也就意味着赌客输光的概率趋近于1。

尽管存在最优下注策略，但p<0.5时，使用最优下注策略的预期收益仍然是负数。因此研究概率论的人没有去赌场的。