主题：【原创】简单而深奥的博彩问题：1.为什么久赌必输？ -- 陈经

这个问题是这样定义的。假设每次赌博赌本是1，赌客赢1块钱的概率是p，输一块钱的概率是1-p。赌客的初始资金是a，他的目标是达到c。a,c是整数。c>a>0。如果赌客的资金变成0或c，赌博过程结束。赌客的最终资金是c的概率P是多少呢？

q=1-p。r=q/p

答案：如果p<>0.5，P=(r^a-1)/(r^c-1)

如果p=0.5,P=a/c。

（证明见关于Markov Chains的书，或者高级一点的概率论教材。）

p=0.5的结果非常符合我们的直觉。假设两个赌徒A，B的初始资金分别是M和N。赌博在他们两个人之间进行。那么根据这个公式，赌徒A最终获胜的概率是M/（M+N）。赌徒B获胜的概率是N/（M+N）。

定义赌徒输光的概率为S=1-P。当c趋近于无穷，S趋近于

1，如果p<=0.5

r^a，如果p>0.5

p小于等于0.5的情况被称为Gambler's Ruin，也就是你所说的久赌必输。

以上的讨论假设每次赌博的赌本限定为1，如果我们允许每次赌本（假设为Wi）变化的话，会得到很有意思的结果。

假设赌徒的目标是赢1块钱，他采取这样一个策略：

W1=1

W2=2，如果第一轮输了。否则的话，W2=W3=W4=....=0。

...

Wn=2^(n-1)，如果前面全输了。否则的话，Wn=W(n+1)=...=0

很容易可以证明，如果p>0，赌徒的赌本是无穷的话，P=1。

这是一个非常惊人的结果，因为这里我们假设p可以取任何正数。这个结果告诉我们即使p非常小，只要有无穷的资金，就永远可以赢钱。这个违反我们直觉的结果成立的原因在于无穷资金的假设。在现实生活中，无穷大的资金是不存在的。一个很大很大的数同无穷大有着本质的区别。事实上，如果初始资金a<无穷，无论a是多么大的数，上面的结果都是不成立的。

（Measure Theory中有个Dominated Convergence Theorem,a等于无穷导致Wn可取的值趋近于无穷大，违反了这个定理的假设，因此 E(lim(fn))<>lim(E(fn))）

回到你涉及的问题。你假设赌场的赌本是无穷大是不成立的。如果赌客的赌本是M，赌场的赌本是N，p=0.5。赌场的预期收益是

M*N/（M+N）-N*M/（M+N）=0

只要N小于无穷，无论N有多大，赌场并不能从赌客身上赚到钱，我们的直觉还是正确的。

• 【原创】赌场中的概率
• 赌场中的概率附一：Gambler's Ruin和群众的力量