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主题:牛顿定律到底说的是什么?(0) -- changshou

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家园 分析力学势函数: from 实数空间 into 流形

1. the physics (newton/classical in particular) as we know basically lives in Rn space (the set of all real numbers, in n dimensions),

2. 流形 comes up, tons of potential apps in computer graphics/AI to come out

we are basically push 分析力学势函数, 广义力, 广义坐标 into

& Sn( symmetric group in n dimensions), the more challenging ones ( gauge field theory & humanity science) live in Tn space;

Tn space: torus ( a torus is the product of two circles, such as a donut, Mobius strip, etc) in n dimensions.

------------quoted from web----

http://ap6.pccu.edu.tw/Encyclopedia/data.asp?id=8844

一、牛頓(Newton)勢

  在力學中,勢函數就是一個n元x1,…,xn的函數u,其負梯度向量 〈方程式1〉為n維(n2)歐氏空間Rn中的一個力場。例如給定Rn中一點P及一測度μ,由下列積分定義的函數

〈方程式2〉 及〈方程式3〉

(式中? 表示P、Q兩點的距離)就是勢函數的典型例子,分別稱為對數勢與牛頓勢。有些作者只稱在R3中的積分〈方程式4〉 為牛頓勢函數。通常測度μ取為有緊緻支臺的Radon測度。這些勢函數在Rn中是優調和的,而在μ的支臺之外是調和的。反之,調和函數可以表示為一個單層勢函數與一個雙層勢函數的和(層的意義見下段)。由於這種勢函數與調和函數的密切關係,有時,勢論就意指調和函數的研究。

  以下的討論限在R3中。設測度μ滿足dμ=ρdτ,式中ρ表示充分光滑的密度及dτ為體積元素。則μ的勢u滿足Poisson方程式D u=-4πρ。如果μ的支臺位在一曲面S上,以及dμ=ρdσ,ρ為密度而dσ為S的面積元素,則μ的牛頓勢u稱為單層勢(或單一分布)。假如ρ在S上連續,則u也在整個空間中連續,而當動點P沿S在一點P0的法線趨於P0時,u在P點依此法線的方向導數即趨於 〈方程式5〉因此,當P沿法線移動通過P0,方向導數在P0有一跳躍值-4πρ(P0),如果ρ在P0S滿足Holder條件,則當動點P沿法線趨於P0時,在P點依在P0的任一固定切線方向的導數都有一確定的極限值。積分

〈方程式6〉

稱為雙層勢(或二重分布)。如果ρ在S上連續,則u在P0沿法線的兩個方向的極限都存在,分別等於2πρ(P0)+u(P0)及-2πρ(P0)+u(P0)。如果ρ在S上為C2級,則當P趨於S上一點時,u的每個偏導數都有一個有限的極限值。

  二、一般勢

  勢的古典定義可以擴展如下:設一空間Ω上的測度μ(0)及Φ(P,Q)為積空間Ω×Ω上的一個實數值函救。當積分∫Φ(P,Q)dμ(Q)在每一點P Ω都有意義時,則稱為μ的勢,具有核函數Φ,並記為Φ(P, μ)或Φμ(P)。如果對於測度μ,ν 0,(μ,ν)=∫∫Φ(P,Q)dμ(Q)dν(P)=∫Φ(P, μ)dν(P)存在,則稱為μ與ν的相互能量,並將(μ,μ)稱為μ的能量。為免定義過於廣泛,常假設Ω為局部緊緻的Hausdorff空間,Φ為Ω×Ω上的下連續函數,-∞<Φ ∞以及μ與ν皆為有緊緻支臺的非負Radon測度。當Ω=Rn時,有核函數Φ(P,Q)=PQ-α(0<α<n)的勢稱為α階(也有人稱為n-α階)的勢,或Riesz勢。(繆龍驥)

家园 witten1 [转载]牛顿的水桶1687-2011

"力= 亚里士多德潜能向现实/运动变化, as fried has written about, a good piece, "挖祖墳" (:) is a must do dirty job"

http://www.ccthere.com/article/3641579


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家园 一口气看完,爽!

深入浅出,真高手也!

长寿老师神龙见首不见尾,不知何日君再来。。。。。

家园 补充一句

避免陷入这种主观唯心主义的怪圈的方法是,把假设带回现实世界,比较、验证、完善、修订、更新...,在不断的肯定和否定之中提出新理论,用客观真实去检验主观假设,把彼岸世界和此岸世界联系起来,这也就是所谓的科学方法。

之所以我们能够做到不断的肯定和否定,是因为物理的理论具备可证伪性,这个就是万有引力和雷公电母两种理论的重要区别。

无论我们做多少观察和实验,在现实世界中我们永远只能得到“果”,“因”则永远存在于彼岸世界

这里说的“因”,我猜是指绝对的真理,或许人类是无法得到的。

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