主题：几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0） -- changshou

如果理解不了 可以跳过。 看1.4 1.5 1.6

或许可以从一个点来开始说。

当一个点只沿着一个方向延伸的时候，就进入了一维空间，变成了线。

一维空间可以没边界，可能是最容易理解的。一条线的两个方向弯曲一下，端点对接就成了个圈。也可以想象成一个点绕着另外一个点转了一圈。但是这个没有边界，等于是把一维变成了二维，出现了面。

二维空间可以没边界，也还好理解。两条线（X轴，Y轴）各自弯曲对接端点，就可以成为一个球，也可以成为一个救生圈。实际上相当于没有边界的一维空间（一个圈）绕着另外一个一维空间（某个轴）转动。类似的，这个转动等于是把二维变成了三维，出现了体。

三维空间可以没边界，这个的确不好理解。三条线各自弯曲对接端点，能变成什么，想象不出来。

如果在三维空间加上时间轴变成第四维，感觉上就好像是过去、现在、未来的空间在时间上的分布，想下去，可能可以变成轮回。

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （1.5）闲话1

有的观众 实在难以想象 4维欧式空间 和三维球面， 怎么办？ 我认为 完全可以跳过去。

缺乏高维想像力 有一些妨碍， 但仍然可以理解广义相对论的主要思想。

你需要做的是 设法理解我下面说的 关于2维球面的东西。 然后每当出现三维的流形 就把它直接降为 二维的。然后 心里默想 2维球面， 2维平面，其他2维曲面等。

待续

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这理解不对。 只粘两条线末端， 啥也不是。

要粘，得粘 所有 通过原点的直线 的末端。而且所有末端要 全粘为一点。这样得到的是球面。这些粘合的直线变成 球面上的经线圈。这图景 铁手 您能想象吗？

再有 直线的末端 在无穷远处。 所谓粘 实际是添加 无穷远点于平面。这叫 单点紧化。

这种造球面法 还等价于将一个圆盘的边界 捏成一点。

几何直观地介绍广义相对论中的时空以及大爆炸模型 （2）什么是流形？（续1）

2.0 困难

我估计 一般读者是想象不了 不嵌入某个3维的欧式空间的 二维球面的。 原因是 在潜意识里 大脑暗中 已将球面定义为 3维欧式空间中的一些点组成的东西。 或者借助于视觉， 把自己视为一个 脱离球面 位于更大空间中的一个观察者。这是我们要试图克服的思维

2.1 怎么办？

办法是 仔细思考 如何定义 一个球面。 那些性质是最本质的呢？ 一个球面的定义 和它以嵌入的方式 被实现在3维欧式空间 有何关系？ 我们采取 四步走的战略。

第一步：嵌入的橡皮膜球面。

第二步：内在的橡皮膜球面。

第三步：嵌入的几何球面。

第四步：内在的几何球面。

2.2 橡皮膜球面 与 几何球面

直观上 （2维）球面有两个基本属性。

第一， 如把它想象为 一个刚性的 不会变形的东西 它有完美的对称。你可在上边画上经纬线 根根都是完美的圆圈。 也可以画其他对称图案。我们姑且称他为 几何球面。

第二， 如把它想象为 一个橡皮膜构成的东西，你可以拉扯挤压它， 破坏它的完美，在这过程中 对称图案不对称了，经纬线也被拉长或挤短。 但只要不撕破橡皮膜 也不让球面的一部分粘到另一部分上， 你感觉它总残留一点“球性”：你可以对 一个橡皮膜轮胎面做同样的事， 但感觉他们始终是有不同。 怎么个不同法？ 一个橡皮膜轮胎面 可以被一根松弛的绳子 象挂钥匙链一样 套住。 可这绳子 套不住 球面。哧溜一下，球面就滑出去了。 这是一个本质区别。

仔细考虑一下， 你也许不难看出 你能想到的 各种套不住的曲面 其实都是橡皮膜球面。

我们可以分两步构造一个几何球面。 先造一个 橡皮膜球面 。然后 把它“绷圆”了， 画上对称的经纬线圈， 再将其烧结固化。 这就成了几何球面。

2.3 粘成的橡皮膜球面。

前面讲的橡皮膜球面 是嵌入的流形（还记得这是啥玩艺儿吗？）。 他可以由两片 不是球面的橡皮膜 粘合而成。其中每一片橡皮膜 都可以被拉扯成 一块平面膜。

方法如下：取两个 带经纬线圈圈的几何球面。 都上北下南的摆在桌上 （北极点在上）。 把第一个球面 沿南纬30度的纬线圈 完全剪开。得两片膜， 上大下小。 取上面那片， 叫它 1号膜。把第二个球面 沿北纬30度的纬线圈 完全剪开。得两片膜， 上小下大。 取下面那片， 叫它 2号膜。把1号膜和2号膜粘起来 （占的时候可能有拉扯， 只要不撕破就好）。粘法是 1号膜的下沿 沿着 2号膜的南纬30度的纬线圈 粘，2号膜的上沿 沿着 1号膜的北纬30度的纬线圈 粘。 南纬30度与北纬30度间的部分完全粘实。

粘出来的东西 是 一个橡皮膜球面。

把1号膜 开口朝下的立在桌上。 用力往下压， 使它摊平在桌子上。 此过程不含 粘接或撕裂。桌子是平面。 所以我说 1号膜 是一块平面膜。 2号膜也一样。

2.4 暂停确认

请确认 你已理解以上文字 （2.2， 2.3）。 否则 请返回阅读。

待续

• 几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0）

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一、三维内都是空间，四维之后每个维度都是时间？

二、维度最高就是十吗？弦论的解释？

是我写得难懂吗？ 还是太罗嗦？

不能言之有物不敢乱回复，这么好的帖子我还是不要回复水贴了。。。

几何直观地介绍广义相对论中的时空及大爆炸模型 (2.5) 闲话2

各位如果觉得 阅读 几何直观地介绍广义相对论中的时空及大爆炸模型 (2) 有问题， 最好提出来 大家讨论理解。 如果觉得没问题 最好吱一声。 这样我心里有数。这篇比较重要。如果搞不懂下面就很难了。大家大致搞懂了，我再发下一篇。

如果觉得 阅读 几何直观地介绍广义相对论中的时空及大爆炸模型 (1) 有问题， 可以跳过 有问题的例子。 只要知道 以下几点就好

0 如果流形这个名字让你很不舒服， 可姑且用“几何体”代替之。

1 平面， 三维空间， 通常所说的球面 （是2维的）都是流形的例子。 至于流形是啥，我还没讲。

2 平面， 球面 是嵌入的流形。 他们嵌入在另一流形（三维空间）里。

3 如你头脑中 只有三维空间， 那三维空间 是一个 没有嵌入其他流形的流形。

• 几何直观地介绍广义相对论的时空以及大爆炸模型 （0）

很好，很强大，欢迎继续。

虽然有点看不懂，收藏下来慢慢消化。

就算看不懂我也要把它吞下去。

双层皮 是非本质的。因为作为一个几何学模型， “皮”没有厚度。

如果将两片的边沿直接连接在一起，构成类似“葫芦面”的东西，是否也是和球面等价的流形，象那样交错粘接，有什么深意么？

如果没理解错的话，尽管“皮”是无厚度的，但会在两层“皮”中形成一个“救生圈”式的空间，是么？

您的例子中是否只考虑“皮”的连通性即可？