主题：【原创】从两个经典智力趣题谈起(一) -- 丁坎

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第一次A(4)/B(4)

平衡则在C组第二次A(2)/C(2)。。。

第二次也平衡呢？（1/6的机会）

1. 对于i个金环，2^(n-1)<=i<2^n, 需要切分n次，方法是2^0， 2^1,……，2^(n-2), i - 2^(n-2)

2. （世界上有重量相等的两颗珍珠吗，哪怕是养殖的？）对于(3^n-3)/2个小球，可以称n次并知道轻重；或是对于(3^n-1)/2个小球，可以称n次但是有可能不知道轻重。方法是：把 0..3^n-1 共 3^n个非负整数用三进制表示，除去全是0,全是1，全是2的3个数，剩下的数字里每一位上分别为0，1，2的数字都有相同个。这样我们把这些小球编号，每个小球有两个号，这两个号的和是3^n-1 （比如如果n=3, 012和210是同一个小球，112和110也是同一个小球，编号中1不变，2变成0，0变成2），编号1和编号2。（在两个编号中选择哪个是编号1的时候注意让所有小球的编号1的第i位上0和2的个数一样多）。这样在称第i次的时候（1<=i<=n），我们把编号1中第i位不是1的小球（共(3^n-3)/3*2个）分成数目相同的两组来称，第i位是0的放在左边，第i位是2的放在右边。如果左边重，记作0，右边重，记作2，一样重，记作1。称n此后得到的数字就是有问题小球的编号，如果是编号1，这个小球比其他小球重。如果是编号2，这个小球比其他小球轻。如果得到的数字全是1，那么有问题的是从来没有称过的小球，但是我们不知道它轻还是重。

• 三次称12/13个球的方法

兄台 这是你的假设

12个球分成ABC3组，每组4个。

第一次A(4)/B(4)

平衡则在C组第二次A(2)/C(2)可以找到C组中的两珍珠第三次即可找到

无论平衡与否 C组中2个珍珠都会在第二轮结束时找到。 问题是 找到了以后怎么办？

且设C组不确定的2个珍珠为C(1") 各放一边,C(1")/C(1") 不管是左边大于右边 还是右边大于左边 你都没办法判断哪边是真的

换个角度 A(1)和C(1")比较 只有当选中的C球为假球时 才能确定假球是轻是重 如果C(1")为真球 则只能找出假球 而不能判断轻重

这题如果知道假球轻重 就是小学奥数题

可是不知道假球轻重 这个就麻烦了

我这种只求结果的无疑落了下乘了

三进制是指小球有3种类型么？重的，标准的和轻的？

两个老题，会解的人不少，自然在我意料之中。

可是我想做的引申，也被衲子兄，枸杞子兄，王树兄等一一道破，实在让人踌躇，是继续下去，还是请这几位仁兄详述他们的想法。既然开了头，还是我先来把抛砖引玉进行到底吧，期待各位朋友继续指教。

为保持行文的完整性，还是先把答案提一下。

第一题比较简单，如njyd兄所说

第二题要复杂一些，但基本上也是一个穷尽一切可能性的耐心测试。

我记得作家朱苏进在小说 接近于无限透明 中也用过这个题目，并且也这样认识这个题目。

详细一点的解法如下：

将12颗珍珠标记为-12号，并分为1-4，5-8，9-12三组。

第一次 称量1-4和5-8，根据结果不同，分别讨论

1 如果第一次称量天平保持平衡，则赝品在9-12号中。

第二次称量9-11和1-3(真品)

1.1 如果天平继续保持平衡，则赝品为12号，第三次称量与任一真品比较则可得其轻重。

1.2 如果天平左盘更重，则赝品在9-11号中，且重于真品。

第三次称量9和10号，如果平衡，则赝品为11号。

如果左盘重，则赝品为9号，右盘重，则为10号。

1.3 如果天平右盘更重，则类似于左盘更重处理。

2 如果第一次称量时，左盘重于右盘，则赝品在1-8中。

第二次我们就称量1，2，3，5和4，9，10，11，(后三个已确定为真品)

2.1 如果此时天平保持平衡，则赝品在6-8中，且轻于真品，

第三次称量6和7，根据天平的左重，右重和平衡，可分别确定赝品为7，6和8。

2.2 如果在第二次称量时天平左重，则赝品在1-3中，且重于真品，

第三次称量1和2，根据天平的左重，右重和平衡，可分别确定赝品为1，2和3。

2.3如果在第二次称量时天平右重，则赝品可能为轻于真品的5或重于真品的4，

只需在第三次称量时任选其中之一与真品比较则可。

3 如果第一次称量时，左盘轻于右盘，则类似于左盘更重处理。

通过不断尝试穷尽一切可能性，这两道题总是可以解答出来的。

然而，如果仅仅满足于误打误撞出来的解答，在题目进行推广的情况下，就很容易束手无策。

比如说，我们将第一题中的金环数改为511，又该如何解答呢？

显然，此时完全从头开始进行尝试是不可取的----过多的可能性的一一试错使得人脑难以胜任。那么，该怎么办呢？------从原始题目的解答中寻找规律。

我们先来看看第一题的解答，分得的金环数分别为 1， 2， 4， 也就是2的0次，1次和2次方，而金环的总数是7，也就是2的3次方减1，这到底只是巧合呢，还是蕴涵了什么玄机？

让我们重新思考一下题目的要求和解答，我们发现，分金环的实质其实是把一个数N分成K部份，要求是用这些部份能够表达出所有小于等于N的数来，而且要让满足这个条件的部份数K最小。当然，主要限制条件在于部份数最少----如果没有这个条件，我把N分成N部份，每部份为1，当然可以表达出所有小于等于N的数。

有了部份数最少的要求，N部份的分法就肯定不可取了，但是，为什么这样分不可取呢？

直感告诉我们，这样分的话很多部份很多余。什么叫多余？在这里，多余究竟意味着什么？

N部份的分法中，有N-1个部份他们自身的值已经由别的部份表达出来了，这就导致了多余！

消除了所有的多余是什么情况？

是这种情况----K部份彼此不等，于是每一部份在表达一个数的时候都不可能重复出现，而只能在出现与不出现两种可能性之间选择其一。

出现，或者不出现，

这正是二进制中每个基本单位的特征。

对比一下十进制与二进制：

十进制的基本单位是1， 10， 100 ....

二进制的基本单位是1， 2， 4....

十进制中的基本单位可以重复，比如35，包括3个10和5个1

二进制中的基本单位不可重复，最高出现次数为1，于是只有两种可能，出现或者不出现。

所以，第一题中1，2，4与二进制之间的对应并非偶然，而是内在的铁律。

事实上，公认的二进制之父莱布尼兹先生在他1703年的论文

Explanation of Binary Arithmetic

写道：

外链出处

莱布尼兹先生清楚地注意到了二进制的一个特性：使用最少个数的基本单位来表达数字，

并用了一个形象的类比来表达这个特性----称数。

把一个待表达的数看作一个待称的物体，而把各种进位制的基本单位看作砝码，二进制总是能用最少的砝码来称量物体(数)。

以7为例，二进制只需3个砝码，而十进制需要7个砝码。

这里需要注意的是，莱布尼兹也把称数的范围表达得很清楚---all the other whole numbers below the double of the highest degree-低于某个基本单位的所有数，可以通过这个单位以下所有的单位的组合来表达。

第一题中这个数是7，低于8这个基本单位，而我做的扩展是511，低于512这个基本单位，只需要1，2，4，8，16，32，64，128，256这9个基本单位就可以全部得到表达。

既然说到了莱布尼兹和二进制，就不可避免地要谈到中西文化交流史上一桩公案：莱布尼兹和易经。这里我们也不去考据这桩公案的详细源流，这里只略谈两点：

1 探讨莱布尼兹二进制与易经的渊源具有思想史研究的意义，但是，如果要以此出发，认为易经包含了二进制乃至计算机的奥秘，想凭易经分得现代文明的红利，就是一种没出息的懒汉思想。持这种思想的人最好先去了解一下莱布尼兹之前西方人自己二进制思想的萌芽，了解一下什么叫图灵机，了解一下电子技术的发展历程。

2 莱布尼兹自以为自己与中国几千年前的圣人伏羲英雄所见略同，其实是一种误解。

他的出发点是二进制与他所见的伏羲六十四卦次序图之间的对应关系，不过，正如黄帝内经的作者不是黄帝，伏羲六十四卦次序图的作者也不是伏羲，而是宋朝的邵雍。

需要思考的是，我们如何区分二进制思想和普通的排列组合？

我们知道，把两个不同的东西在不同位置上进行排列组合不一定意味着二进制思想，比如说随便找个孩子，教他说大小，就是说着玩也很容易说出大大，小小，小大，大小这样的组合来，我们不能认为这孩子也拥有二进制思想吧。

所谓二进制，归根结底是数的一种表示方法。二进制思想和普通的排列组合之间的界限在于，

前者必须把得到的不同排列与不同的数对应起来，而且这种对应要与数的大小一致。

在这个意义上讲，伏羲六十四卦次序图可以认为已经包含了二进制思想，但此图年代较晚。

而出现年代早的六十四卦通行卦序，根本体现不出与数的一致(详见拙文 石破天惊

链接出处)，由此，我们并不能确证邵雍之前的易经系统已经蕴涵了二进制思想。这个看法可能让某些民族情感过于浓烈的朋友不快，不过，一个民族的崛起只能屹立在事实，而不是情感之上。

而且，也不用太过不快，按照前述的标准，我们马上会发现，远早于宋朝，在西汉时期，扬雄

写出的太玄经，就确凿无疑地蕴涵了三进制思想。

具体内容，留在下个帖子里与第二个题目的推广一起讨论。

跟我的思路应该是一样的，但老兄的方法似乎更简洁，希望能再介绍详细些，能有数学证明更好。

原因在于，当切破的环数（n0）大于一定数值时，那n0个环本身就提供了我们n0个1，因此我们可以不用再切出2个环、4个环……的链条（具体可以省去多少，取决于1的个数）。

例如，63个环的链条，我们须切几刀呢？只需3刀。依此法：

[4]⊙[8]⊙[16]⊙[32]，其中[n]表示长度为n的链条；⊙表示切破的一个环。

2047个环的链条，只需切7刀：

[8]⊙[16]⊙[32]⊙[64]⊙[128]⊙[256]⊙[512]⊙[1024]

(七个1，加上8、16、32、……）

• 妙！
• 对

讨论的是数的表示，可以把题目改为可解环，则可将切环问题包含在内。

切环的问题是一解开必产生单环，而可解环则不然。