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主题：【讨论】趣味数学题 -- 任爱杰
家园 你是对的！ 我没仔细看老科学家的题，中午肚子饿，急着出去吃午饭。
老科学家的题并不等价，等价的题应该是这样的：
已知同事A和B，各有一个孩子（不知性别），今天见到两人其中一个男孩，但不知道是哪位同事的，问另一个孩子也是男孩的概率。
家园 啊啊啊，我刚以为明白了…… 可我xls验算是1/3呀！晕菜了
家园 算法取决于你对题目的理解 -- 有补充 如果你把题目理解为“有两个孩子，已知其中一个孩子的性别是男的，两个孩子同性别的概率是多少？”，你算出1/3是对的。因为两个孩子的排列组合是：男女，女男，男男，不存在女女的情况。
如果你把题目理解为“有两个孩子，第一个孩子的性别是男的，两个孩子同性别的概率是多少？”，那么概率就是1/2。这是因为这里有了顺序。因为第一个孩子确定是男的，两个孩子的排列组合只能是：男女，男男，不存在女男和女女的情况。
作者 对本帖的 补充(1)家园 原题是第二种情况 -- 补充帖 原题中，你已经看到了邻居的小孩是男的。所以另一个不是男的就是女的。组合只能是 男男 或 男女。所以同为男性的概率是二分之一。也可以说另一个孩子是男孩的概率是二分之一。
见前补充 4618769
家园 让我来终结这个讨论吧 楼下讨论越来越偏，甚至连“爱女狂魔”，“王熙凤”什么的都考虑进来了。殊不知概率和统计这两种学科就是为了消除这种种因素的影响，从而得到事物更本质的规律而创立的。
当在概率里说“抛一枚硬币出现正面的概率是50%”，那按频率主义的观点，这枚硬币已经经过无数次试验（是的，无数次，即使实际上不可能）；按古典主义观点，这个值是先验的，不证自明的，不需要任何试验去证明的（虽然可能有经验做依据）；按公理化的观点，这就是个数字，只存在于思维（实验）里，也不需要实际做基础，理论上只要是0到1的数字都可以。
本楼里所有的贴子（包括我自己的），对这个问题实际上都是采用的古典主义观点，也即构造了一个由若干基本事件组成的概率空间，然后对每个事件使用了“等可能”假设，也就是每个基本事件不加证明地认为是等概率的。
以这个比较简单的为例，概率空间为：
1. 长男次男
2. 长男次女
3. 长女次男
4. 长女次女
先假设#1-#4是等概率的，因此见到一个男孩后排除#4，其他3个里因为已经有一个男孩在外面，所以家里还有一个男孩的只有#1，所以其概率是1/3。
然而古典主义是有缺陷的，“等可能”假设在逻辑上有循环论证的嫌疑，在这里如果#1-#4是等概率的，那么已经使用了“人类生男孩的概率是50%”这个假设，“家里的孩子是男孩的概率"已经是50%，不需要再推理论证了，而且无论怎么推理证明，也不会比这个更好。
实际上在这个假设下，即使在外面见到的是女孩，也可以推出”家里的孩子是男孩“的概率是50%，甚至根本不需要知道外面孩子的性别，构造出这个概率空间并且默认等可能的时候，一旦有一个孩子在外面，”家里的孩子是男孩“的概率就已经是50%了。
所以这里的问题是推理的目的搞错了，不应该选“家里的孩子是男孩的概率”作为推理目标，换一个可能更有意义。
还有要提到的是，人类生男孩和生女孩这两个事件不是独立事件，而是互斥事件，因为一件事情发生的时候另一个事件一定不发生。两个孩子各自的性别则是独立事件。
通宝推：普鲁托,家园 某胎生男生女是互斥，但是一胎二胎生男生女是独立事件 某胎生男生女是互斥，但是一胎生男生女和二胎生男生女是独立事件。
如果不知男女，概率空间的确是：
{长男次男1/4, 长男次女1/4, 长女次男1/4, 长女次女1/4}
但是已知至少有一男，概率空间其实是：
{长男次男1/4, 长男次女1/4, 次男长女1/4, 次男长男1/4}
这时，家里另一个是男孩的概率依然是1/2。
家园 其实”已知至少有一女“也一样 因为独立，所以”已知至少有一女“，家里另一个是男孩的概率依然是1/2。所以已知一个孩子的性别并不影响另一个孩子的性别。独立事件嘛，不就是这样定义的吗？
家园 你的说法还是有问题，所谓循环论证从何说起。 古典概率论并没有你说的那种缺陷。它用到两个假设：两个孩子出生时的性别决定是相互独立的；每次孩子出生时生男生女的概率相等，都是50%。这两个假设没有任何问题，也和循环论证扯不上关系，因为这两个本身就是假设，不需要论证，只要觉得合理就行。
家园 既然已知相互独立并且各为50%，为什么还要去证明？ 原贴就是想得出结论：家里的孩子是男孩的概率是50%啊，这和”每次孩子出生时生男生女的概率相等，都是50%“是等价的啊。和带出去的孩子性别无关啊。已知条件和证明的结论相同，所以这不是循环证明是什么?
家园 这里好像不对？ 实际上在这个假设下，即使在外面见到的是女孩，也可以推出”家里的孩子是男孩“的概率是50%，先假设#1-#4是等概率的话，答案应该不是50%，应该是2/3吧？
家园 这是个高中的古典概率题 楼主上来就说得很清楚，两个孩子的性别判断是独立的，没有相关性，明明白白1/2。除非观察导入额外的相关性譬如宠女狂魔啥的。
也不存在所谓古典主义缺陷，循环论证等等。这个问题假设男/女是符号，和0/1没有什么区别，必须是50%的等概率分布。如果不是50%的等概率分布，那么男/女必可做符号之外的区分。
没得倒1/2的几位，有个别是没理解独立事件，有几位是在验证复杂路径的过程中在某些节点犯了些逻辑错误。这其实是讨论中有切实意义的地方，理解一种思路可能错在什么地方，比坚持一种思路哪哪都对，是更有效地沟通方式。
题外话，这么一个干净的问题，大伙都讨论的热火朝天，现实中的复杂问题，沟通成本会有多高？
家园 所以我在下面说了，这个类似先验概率和条件概率的问题 ”两个孩子的性别判断是独立的，没有相关性“，”必须是50%的等概率分布“。这个也是先验的，没有证明的。如果已经知道了这个，还用推断来证明它来干嘛？这不是多此一举吗？
原来这个问题试图通过没有这个先验的条件下通过其他概率来证明（推断）出这个事情。但就象我这里说的，其实是循环证明。应该换个论题来说明统计推断是如何反直觉的。
另外再补充一点，概率和统计是两码事，统计在很久以前就有了，而概率是在文艺复兴之后才有的。原作者是想举例说明统计推断的工作过程的。而统计推断的前提就是不知道总体的分布或者已经知道但某些参数不知道因而需要通过样本的性质来对总体来进行评估。