主题：数学闲话（闲话开始前的闲话） -- 明日枯荷包

这个领域我因为想证明哥德巴赫猜想，很可能比楼主还要知道得多一些。

素数分布研究的一个重要函数π（x),注意这里的π与圆周率一点关系都没有，指的是小于x的素数的个数。

这个素数的个数是有准确的计算公式的，与所谓的ζ函数的零点有关。

所谓ζ函数指的是1+2（-s)+3(-S)+4(-s)+......

这里我用2（-s)表示2的-s次方（因为难以编辑成那种数学形式。这个函数经过解析拓展以后有很多的零点，有显然零点和非显然零点。

与π（x)直接相关的一个函数叫做ψ（x)---这个函数要说明白的话就需要把解析数论的基础知识或者说Λ（n)函数，Dirichlet级数什么的都说清楚了，总之，那两个函数是相联系的，有了一个函数就可以求出另外的函数。

ψ（x)约=x-∑x(ρ)/ρ,还有其他比较小的项，对应于ζ（s)函数的显然零点--即s=-2,-4,-6......等等一大堆式子的累加，而∑x(ρ)/ρ，这里的（ρ）还是同前面一样表示指数函数，ρ是ζ函数的非显然零点，即把所有的非显然零点的x(ρ)/ρ都要给累加起来。

黎曼猜想的意思是说，非显然零点的实部都等于1/2，如果是这样的话，那么就可以算出素数分布的余项是x的 1/2次方的倍数。

但是黎曼猜想不是那样好证的，人们只能从其他渠道，例如对零点的分布密度的规律，在潘承洞的那本书里面的素数分布的余项只达到xexp（-(logx)(-3/5)）的水平

陈景润之所以能够证明1+2,是因为人们对素数分布的理解接近于黎曼猜想的余项的值，黎曼猜想可以给出素数分布的平均值的误差大致为x的1/2次方除以log(2)x,而根据零点的密度分布，可以给出的误差，最精确的结果是x的1/2次方除以log(11)x--即差了一个logx的9次方

所谓1+2，x的1/2次方的平方等于x，所以容易证明，但是证明1+1呢，则根据那个已经接近于黎曼猜想的结果也是不对的---有另外的机制需要去找

有好几种方式，最常见的一种定义方式是：数列 a_n=(1+1/n)^n 的极限

当然还有很多其他的式子。

自然对数的底e很简单就是等于（1+1/n)的n次方，这里的n越大，就越趋近于e的准确值，或者说e=lim(1+1/n)^n 这里的 n--->无穷大

PI的精确定义由公式完成即可，给定位数的具体数值则由现代电子计算机得出。

介绍两种比较另类的计算方法：

扔针法：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%B2%E4%B8%B0%E6%8A%95%E9%92%88%E5%AE%9E%E9%AA%8C

投币法：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%92%99%E5%9C%B0%E5%8D%A1%E7%BE%85%E6%96%B9%E6%B3%95

我考虑的是圆周率和自然对数的概念是怎么产生的。坦白讲认识到圆周和直径的比是一个常数，这个可能不是特别直观，不过有正方形和三角形的例子在那摆着，估计PI的概念也自然会产生吧。至于具体数是怎么计算的，确实应该是逐渐逼近的，否则还能有其他的方式吗？我想可能也是有的，比如也可以弄把软尺子直接绕着圆周量，不过这样都比较粗糙（到小数点后两位是容易的，不过像祖冲之那样到7位就不大可能了），显然还是数学逼近比较准确些，是说想准确到几位就能准确到几位，至于怎么逼近，方法很多，查查就可以了，最直观的肯定应该是多边形逼近吧。

关于自然对数，说实在的，要是没有人告诉我有这么个数，再没学过对数，还真挺难产生这个概念的。至少我上大学之前不知道自然对数有啥用，也不知道它为啥产生，这曾经一度让我觉得很费解。不过关于这个概念的产生网上有，查查就行了。所以对于欧勒，只有顶礼膜拜了。当然如果复变函数是必然产生的，那自然对数底这个概念肯定是在那之前就会被人们所认识的。我没查过资料，但我相信，在中国近代数学之前，应该没有这个类似的概念。不像圆周率，世界上几乎所有民族都有这个概念。