主题：【文摘】相对论通俗演义 -- 不爱吱声

第十五章 史瓦西解

(1)

刚开始，有了爱因斯坦方程，剩下的任务就是解方程,爱因斯坦方程的解是度量函数，是10个方程组成的偏微分方程组，这个方程非常复杂，因为它不象一般的n次代数方程，后者人们可以根据代数基本定理，可以知道，有n个解。爱因斯坦方程到底有多少解，没有人能够说出来，虽然人们已经发展了一系列由已知解推出未知解的生成解技术，比如纽曼在1971年就从已经知道的RN解中生成了kerr-纽曼解，当然其中的生成过程用到解析延拓和复坐标系转换，可谓是变幻莫测。所谓偏微分方程，要想解答出来，很多时候就是靠特殊函数之类的方法。在我上大学的时候，第一次读到薛定格或者史温格不解偏微分方程，而用因式分解的方法，或者说，用超对称量子力学的方法得到一维偕振子的能谱的时候，我觉得整个世界是天昏地暗，那计算过程里的每一个字有豆腐干那样大，朝我迷糊的眼睛砸过来。

当时的我被惊讶。

原来，schrodinger方程这样的PDE，可以通过不解PDE来处理。

从某个时候起，我看到Einstein方程，就会想，能不能不用PDE的方法，来解决它。

寻找爱因斯坦方程解的故事非常之长，国外有一本专门写这方面的书，叫《爱因斯坦方程的精确解》。国内也涌现过一些人解过爱因斯坦方程，比如，翻开尘封的历史之书，可以看到先驱束星北走过的崎岖山路：“束星北是我国早期从事相对论研究的理论物理学家之一。爱因斯坦广义相对论的引力定律，开始时只得到球对称静力场的近似解，随后Ｋ．史瓦西（Ｓｃｈｗａｒｚｓｃｈｉｌｄ）得到球对称静力场的精确解。３０年代初，束星北曾试图推广到球对称的动力场，得到有质量辐射的近似解。……1950年代，Ｈ．韦尔（Ｗｅｙｌ）、爱丁顿和爱因斯坦想通过黎曼几何把引力场和电磁场统一起来，基本没有成功。其实早在1930年前后，束星北就探索引力场与电磁场的统一理论，他考虑了引力场与电磁场的根本异同，提出用质量密度ρ和虚数电荷密度ｉσ之和ρ十ｉσ代替广义相对论中的能动张量中的质量密度ρ，从而导出一级近似的复数黎曼线元，实数部分正好代表引力场，虚数部分正好代表电磁场，并由之进一步推导出麦克斯韦方程组和洛仑兹力方程。”束星北是国内研究相对论的先驱之一，是李政道在浙江大学时的老师，但他后来受到了政治打击。其人生经历现在留下人们谜一样的感觉，下面是简单的年表：

１９０７年１０月１日　出生于江苏省南通。

　　１９２４―１９２５年　求学于杭州之江大学一年级。

　　１９２５―１９２６年　求学于济南齐鲁大学二年级。

　　１９２６―１９２７年　求学于美国堪萨斯州拜克大学物理系三年级　　。

　　１９２７年　 在 美国旧金山加州大学学习。

　　１９２７―９２８年　 经日本、朝鲜，过莫斯科、华沙到柏林、汉诺威等欧洲各地游历及工作。

　　１９２８―１９３０年　在英国爱丁堡大学攻读研究生，获硕士学位。

　　１９３０年　 在英国剑桥大学攻读研究生。

　　１９３０―１９３１年　任美国麻省理工学院研究生兼研究助教。１９３１年５月获理学硕士学位。　　

　　１９３２年　 任南京中央军官学校物理教官。

　　１９３２―１９３５年　任浙江大学物理系副教授。

　　１９３５―１９３６年　任上海暨南大学数学系教授兼主任，上海交通大学物理系教授。

　　１９３６―１９５２年　任浙江大学物理系副教授、教授。

　　１９４４―１９４５年　被重庆军令部技术研究室借聘，研制雷达。

　　１９５２―１９５８年　任青岛山东大学物理系教授，海洋系气象研究室主任。

　　１９６０―１９７８年　在青岛医学院兼任教员。

　　１９７８―１９８３年　任青岛国家海洋局第一海洋研究所研究员。

　　１９８１―１９８３年　任山东和青岛市物理学会名誉理事长，中国海洋学会副理事长、名誉理事长。

　　１９８３年１０月３０日　病逝于青岛。

度量g是相对论中最基础的概念之一，它指的是两点之间距离长短，但因为是弯曲时空，所以，任意两个时空点之间的距离变得很奥妙。北京到杭州之间的球面距离，大约是1700公里，这个距离之所以能够出来，是因为，我们在地球球面上赋予了一个度量，这个度量是由3维平坦空间的欧几里得度量在球面上诱导而得到的。由此可见，假如知道了地球球面的度量，我们就可以算出距离。现在，粗劣地说，我们是要在爱因斯坦方程里解出度量。

第一次真正解出这个度量来的人，就是史瓦西。

（2）

回过头来，让我们重新看一下爱因斯坦方程。

时空的几何用Einstein方程G_ab=T_ab描述，场方程左边只出现背景流形的度量(以及它的派生量)而右边只出现物质场的能动张量。

爱因斯坦场方程是一个张量方程，方程的成立是不需要坐标系的，但真正的计算必然是要选择坐标系，使得这个坐标系覆盖时空流形的某个区域。很重要的一点是，人们可以在同一个地方选择不同的坐标系，但真正的物理的东西是不依赖于坐标系的选择的，这就是广义协变性。通常的比喻是这样的：时空流形好象是一个房间，而坐标系好象是摄象机，摄象机可以从不同角度来拍摄这个房间。广义协变原理指出,无论怎么拍，都是反应同样的房间，房间是不依赖于摄象机的。

第一次世界大战期间，1916年。有一个人给Einstein寄来一封信，他说他找出了Einstein方程的一个解，想要请爱因斯坦帮忙在物理学的学术大会上代为发表。写信的这个人当时在俄国，他忙着在战壕里计算弹道。战争是惨烈的，生命在弹指间灰飞烟灭。四起的狼烟与隆隆的炮声似乎为运命太息。

史瓦西在沉思。

他是德国的天文学家，当他死的时候，爱因斯坦不无悲戚地写了悼念的文章，文章的第一句是：死神从我们的队伍里带走了卡尔.史瓦西。

史瓦西考虑的情景是最简单的，他考虑的是一个不带恒星，不带电荷和不带自转，那么，这个恒星的存在将引起时空如何弯曲。

他得到了一个结论：

ds^2=－(1-2M/r)(dt^2)+1/(1-2M/r)(dr^2) +(r^2)[dθ^2+(sinθ)^2(dφ)^2] （5）

之后，他在冬天的战场上得了严重的皮肤病。

等他跑回德国就匆匆地离开了尘世。

一生象闪电般出现流星般消失。

（3）

公式（5）描写了史瓦西时空的弯曲情况，这是一个很数学的结果。要清楚地看到它的弯曲情况，后来的人做了很多工作，人们还试图把史瓦西时空嵌入到更高维度的时空之中。这样人们看问题会稍微清楚一点，Eisenhart有一个定理说，如果n维Ricci平坦的流形可以到n+1平坦空间，那么n维流形必然是Riemann平坦的。但4维史瓦西时空不是Riemann平坦的，它仅仅是Ricci平坦，所以它不能嵌入到5维平坦空间。但它可以嵌入到了6维平坦空间。